“由浅入深”——例谈难题的弱化及解答

内蒙古赤峰市赤峰二中高三（5）班 蒙香含

难解的题目大体上可分为两类，一是因繁而难，表现为题干冗长、线索繁复；二是因难而难，表现为题干过简、无从下手。前者只需耐心剖析，从中获取、简化有用信息大多可解。后者的“无从下手”或是因为题干线索之间的关联难以找寻，或是因为题干中需要证明或求解的结论所涉及的范围过于宏大。对于此类问题，解答的不二选择是将其弱化为方便观察解决的子问题，再通过子问题得到适用于原规律的解决方法。

以下是某网友高额悬赏的一个题目：

如图所示，在锐角三角形ABC中，有一点P使得PA+BC=PB+AC=PC+AB，求证：(a+b+c)+2c。

乍看这道题目觉得应该能力所及，但真正上手就觉其形态复杂又无从下手，与教师争论后觉得应该将其弱化处理，将“任意锐角”条件弱化为“等腰锐角”条件，这一改变使寻找点的位置变得容易操作，于是顺利得到如下的解答。

如右图，易知点P位于底边的垂线上，不妨延长AP交BC于点D，且设PD=x，则又因为PA+BC=PB+AC，故有

易解（所谓易解，其实不太容易，应将未知数分居两侧，这样平方后可消除，即如下配凑：

点P固定后，即条件1运用完毕，可从结论入手进行化简工作，为了更好更方便地完成以下更为复杂的简化过程，需要做如下准备条件：

很显然PD=x为△PBC的高，运用三角形面积公式处理左式，有：

运用半角公式及上文四个准备条件，对等式右边整理，易得：

显然“左边=右边”，弱化后的命题得证。下面将运用上述原理对其一般情况进行分析和证明。上文得证的原因是点被固定并成功与结论建立联系，故原命题如能得证首先要确定点的位置，将运用解析法进行分析和讨论如下：

理论上解方程即可求得未知量确定点P的位置，并沿上文思路继续下去。但由于计算量过大，结果过长，不具一般结论的特性，故只在此举例做算理上的分析。

由上述理论可知B(0,0),C(7,0),A(3,4)，应用条件，即代入上述方程可得：

由于无法进行精确计算，故其结果的正确性使用计算机验证有：

经验证符合上述比例关系，故该题目已得以证明。

综上所述，再难的题目经过弱化后的子问题都是易于解答的，将子问题的解答方法进行调整处理，便可使我们找到解决母问题的方法，在解题过程中我们可以应用数理软件帮助计算。与我而言，找到解决一道难题的正确思路，相比于计算出最终结果而言更为重要。由浅入深，循序渐进，柳暗花明又一村。

（由于计算量较大，所以此处计算使用了计算机，且结果精确到万分之一）