数学教学中“数形结合”思想的运用及实施

张围

【摘 要】数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。

【关键词】数学；数形结合；运用

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。

一、“数”“形”结合是推动数学发展的动力

（1）“数”产生于各种“形”的计算， “数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。

例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率、关于距离、关于线段定比分点等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。

（2）对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是无理数的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段？琢，用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式

二、数形结合在教学中的运用

“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。

在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时，形象易记。下面具体分析一下。

（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。

（2）相反数 在数轴上，相反数就是在原點两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：

（3）绝对值在数轴上，一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。

（4）倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征。例如，利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常转不过符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数？琢的相反数是-？琢时，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：？琢可以是正数、0、负数。

数、形在一定的条件下的相互转化是数学中最常见的规律之一，在高中数学教学的内容中，把数和形结合起来研究的方法贯穿始终。在介绍函数概念时，介绍集合-用文氏图表示集合的关系；用数轴的全体或部分来表示定义域、值域，也是几何形象；函数关系与图象--用平面点集组成的曲线来描述函数的性质：奇偶性--关于原点或坐标轴的对称性，单调性--图象的走势升降，最大值-最高点，最小值-最低点，有界性--是否存在平行线或直线，周期性--图象能否有规律地重复出现或叠合等等。在代数的核心内容函数教学中，充满了几何语言、几何形象的描述及其对我们理解应用的帮助。

三角函数、复数、微积分与立体几何等内容中，都可以利用数形结合，帮助我们更快、更好地解决问题。在中学数学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。

三、数形结合在解题中的运用

作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。

1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。

2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。

3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

四、多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁

对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、老师光用嘴和笔说不清的问题，借助于多媒体将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰富起来。计算机强大的计算、图形、图像、动画等能力，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空中的动态过程。数学实验能使学生加深对数学概念的理解，通过相应的技术手段，为数学的学习提供了绝好的工具和途径。学生通过实验，能探索数学规律，发现数学命题，提高创新能力。

例如，利用《几何画板》画图后，马上就可以测算出数值，并能把图形变化过程中的数量关系的变化（哪怕是微小的变化）直观地显示出来，数与形的变化同时进行，数形结合，为数学的学习提供了绝好的试验工具，这在传统数学教学中根本无法办到，《几何画板》是帮助学生学通数学的有效工具。

例如，利用计算机做下列数学实验，学生一人一机，机内装有显示一般正弦函数y=Asin（？棕x+？准）的图象的应用软件（操作界面见图2）。启动该软件后，学生可用鼠标任意改变画面中的点C、点J、点F的位置，亦即改变参数A、？棕、？准的值，使图象产生相应的变化。学生手、眼、脑并用，通过考察函数式y=Asin（？棕x+？准）中三个参数A、？棕、？准对函数图象的影响，对图象的振幅变换、周期变换、相位变换产生感性认识。整个过程直观、形象，充分显现数与形相互依赖的变化过程，对于学生更好的理解和掌握正弦函数的图象和性质，从理论上探究相关的数学规律打下坚实的基础。

下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。如图3，在△ABC中，E是OB边上的任意一点，以E为顶点作△ABC的内接矩形EFGH，使矩形的一边EH在OB上，使点E在OB上运动，矩形面积随之变化。设OE为x，建立x与矩形面积间的函数关系，让学生观察，当x变化时，矩形面积的变化特点及是否有最大值。然后显示当E点运动时，对应的动点K（x，S）（S为矩形面积）的运动轨迹（其轨迹为开口向下的一段抛物线）。最后改变△ABC的形状，研究△ABC的底边BC或BC边上的高变化时，对抛物线形状有什么影响。计算机强大的图形、图像功能，把“数”与“形”紧紧结合在一起，使抽象的数学变得形象、生动、有趣，大大激发了学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。

總之，教师可以通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。但如何进一步提高数形结合法解题的能力，必须积累解题的经验，才能享受到成功的喜悦。

参考文献：

[1]刘志伟.浅析数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2012

[2]杜路敏.试论高中数学的“数”与“形” 《学周刊》，2013

[3]宋玉军.高中数学有效运用数形结合思想的教学研究[D].东北师范大学，2010