奇数轴中素数量与合数宽度的研究

李科

关键词：孪生素数;数论;奇数;合数;封闭

中图分类号：O156

文献标识码： A

大家对奇数、素数、合数的概念都很清楚，对孪生素数猜想的内容也不陌生，但关于其正确性的证明却一直困扰着历代数学家，我也曾尝试过对于其正确性进行论证[1]，但论文中有关无规性的描述令，很多人感觉难以理解。所以我认为有必要以一种较为常规的思路加以论述，以便于读者进一步理解。有关奇数、素数、合数，需要注意的是素数除了2之外都是奇数，所以排除2后研究素数会方便很多;此外所有合数都有素数因子，而所有偶数都是合数，且都具有因子2，所以排除因子2的合数（偶数）对研究合数也会有奇效。这就是本文要讲述的重点，一个有关“素数的整数对称数集合（LiKe矩阵）中的行封闭性问题”[2]的运用性实例。当然，为了论证孪生素数猜想不必完全证明LiKe矩阵的行封闭性，而只需利用其一列（奇数数轴）即可。详见下文：

一、 LiKe矩阵的概述

LiKe矩阵就是整数的素数对称数集合。由于本文的侧重点，关心其由来的可以参考文献2。 “LiKe矩阵”的具体的形式可参见下表，LiKe矩阵首先是一个具有无穷行和列的矩阵;其次他可简单地表述为：“第n列为从第n个奇素数Pn开始的奇数数轴，并且第n列相对于第1列下移（Pn-3）/2行，空位为0”。

对于表中的矩阵，一眼就可判斷出其每列都具有素数，及列向被素数封闭（易证，因为每列都是奇数数轴且素数有无穷多）;其实它的每行也都有素数（行封闭性）。其证明与哥德巴赫猜想证明一致，不在此赘述，本文着重讲解其列（奇数数轴）与孪生素数的关系。

二、奇数轴中素数个数与合数宽度的关系

观察表中的第一列，我们可以发现随着数的增大，数轴中的合数在不断增加，其中相连合数的宽度在不断增大（素数间隔增大），但无论如何都是以窄宽度为主。那么在奇数数轴中，合数的宽度与素数间到底存在什么关系呢？这种关系和孪生素数有什么联系呢？因为合数由素数因子乘积构成，我们不妨烦琐一点，从列中素数递增中寻找规律。

（1）假设只有1个素数3，3的奇数倍数为合数。那么数轴为：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27……

可以看出，数轴中每3个数中有一个3的倍数，间隔为2且有∞个，不可能出现两个相连的3的倍数（在此设奇数个为单位1，3倍数后少了1/3）。

（2）假设有素数3和5，3和5的奇数倍数为合数。那么数轴为：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33……

可以看出，数轴中3和5的倍数可以相连（如25、27）。这样的数有无数多个（3n、5m满足3n-5m=±2），但不会有三个相连的倍数（因为3的倍数隔2，5的倍数隔4）。此外间隔为2的量在减少（如21和27间少了25），但由于5倍数的跨度大于3，所以间隔为2的依旧有∞个（其中少了约1/5）。

（3）当素数增至3、5、7时，3、5、7的奇数倍数为合数。那么数轴为：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43、45、47、49、51、53、55、57、59、61、63、65、67、69、71、73、75、77、79、81、83、85、87、89、91、93、95、97、99……

可以看出，数轴中出现了3位相连的素数倍数（91，93，95）。那么三个素数会出现4位连续倍数吗？续写奇数很显然不明智，我们不妨用素数本身表示其倍数类型，如91，93，95属于735型。那么3位相连倍数的类型共有357，375，537，573，735，753六种，其中3在中间的由于最小的3的倍数连续间隔至少为2所以无法连续至四位，而357=573、375=753可能连续至四位的类型分别是3573和3753型两种。我们选择其中一种类型证明即可，如357型：

设3，5，7的倍数为3m，5n和7x

必满足：5n-3m=2;7x-5n=2

解得：n=1-3i;m=1-5i;x=1-（5*3*i ）/7

如i为7的负整数倍时有无数解。

其四位连续性为3573，需满足：3m'-7x=2;7x-5n=2

解得：m'=3-5i;x=1-（5*3*i）/7

证毕。显然会有四位连续倍数且有无穷多个。为了加以验证，设i为-14，可得3m=213;5n =215;7x=217; 3m'=219。完全正确！在此过程中间隔为2的量进一步减少，但由于5与7的倍数跨度大于3，所以间隔为2的依然有∞个（其中少了约1/7）。

（4）当素数增至∞个。

归纳前面的证明，很容易发现素数的距离是越来越大的，而原来越大的距离自然而然地就使得其倍数远大于3。所以素数的个数增加是永远无法使间隔为2的量消失的（便于理解可参见下图），而当素数趋于无穷多时这个间隔2就是孪生素数。在素数无穷的情况下，孪生素数有无穷多个！ 至此可发现，素数pn+1始终大于pn，所以波利尼亚克猜想也自然成立。

虽然孪生素数无穷多，但可以稍加粗略地计算出其在奇数中的占比约为：

1-1/3-1/5-1/7-1/11-1/13-…-1/P+1/15+1/21+…+1/pq+1/105+…1/pqr+…1/∏P

=1.5-∑1/P+∑1/pq+∑1/pqr+…+∑1/∏P-∑1/2p-∑1/2pq-…-∑1/∏2P

关于该新颖级数的求和不在此演示，有兴趣的可试试。不过它是发散的（级数本身也说明了孪生素数的无穷多），但可求出一定范围内的具体比例的上限值。

三、总结

本文开篇通俗易懂地介绍并引入了“LiKe矩阵”。在此基础上，利用LiKe矩阵中的一条奇数数列，通过逐步增加素数的方法讨论了奇数数轴上合数宽度与素数数量的关系，进而论证了孪生素数猜想。并计算出了无穷数量的孪生素数在奇数数轴中的占比公式，即1.5-∑1/P+∑1/pq+∑1/pqr+…+∑1/∏P-∑1/2p-∑1/2pq-…-∑1/∏2P。

参考文献：

[1]李  科. 孪生素数及素数分布的思考[J]. 读写算（教师版），2017（7）：1-3.

[2] 李  科. 对称群及帮派论[J]. 求知导刊，2017（33）：18-21.