让课堂成为思维萌芽的土壤——特级教师许卫兵“认识方程”教学片段赏析

◇朱 宁

“认识方程”是小学数学里的一节经典课例。这一内容的学习，除了知识层面的意义，更重要的是实现内部认知结构由算术思维向代数思维的过渡。特级教师许卫兵对这节课的教学，从学生熟悉的情境入手，把对方程静态的认识转变为学生自主建构概念的过程，实现了思维方式的转变。

【片段一】课始，出示学生一年级数学学习时常见的情境图（如图1）。

图1

师：这是一年级碰到的情况：草地上有7个人踢球，再来几个人就有10人？

生：再来3个人。

师：（出示 7＋3＝10）小组内商量商量，你们对这种做法有什么看法？

（学生小组交流后汇报）

生：我们小组认为这种做法是错的。“7＋3＝10”是用踢足球的7人加上再来的3人，算出了一共有多少人。

生：这种做法把要求的问题当成条件来用，不对！

师：你们认为应该怎样解答？

生：用10-7=3来计算，就是用一共的人数－已经有的人数＝再来的人数。

师：你们是不是认为，要用已经知道的“10”和“7”算出还不知道的“3”？

生：是的。

师：在数学上，把已经知道的这些数叫作“已知数”，把还不知道、要求出来的数叫作 “未知数”。你们的想法都是用已知数求出未知数。再看看黑板上这种解法。

生：它是用已知数和未知数算出已知数。

生：对！是用 7＋一个未知数＝10。

师：这么一看，这个解法还真和我们常规的想法不一样。如果将“3”加上一个□，写成“7+=10”，你们觉得对吗？

生：（齐）对！

师：看来这种做法并没有先想答案是多少，而是先把事情给弄明白了：到底7再添几是10？

师：一年级时遇到的这个问题让你们这么纠结。有7人在踢球，现在又来3个人，现在有多少人？这个问题你们会解决吗？

生：会，按顺序来。

师：如果不知道结果，我们按故事发生的顺序来解答；如果知道了结果，故事发生过程中出现了未知数，我们就有点儿乱了。同学们，其实这样的问题在数学发展史上也纠结了好长时间，相信通过今天的学习，你们一定能进一步理解其中的道理。

【赏析】算术思维是指向结果的思维方式，学生在第一学段的数学学习中主要运用算术思维解决问题；代数思维是指向过程和结构的思维方式，学生将在第二学段分“用字母表示数”“简易方程”“列方程解决问题”等章节有序地学习。方程是实现由算术思维到代数思维跨越的重要教学内容。课始，许老师呈现学生一年级时解决过的一个问题，让学生直面用算术思维和代数思维解决问题的差异。在对“7＋3＝10”这种解法的讨论、交流中，由于学生长期用算术方法解决问题形成的思维定式，拘泥于寻找已知数之间的关系解决问题，并不能顺着事物发展的顺序，让未知数参与到解决问题中来。许老师的教学为学生的数学认识打开了一扇窗，看到了一个新的代数世界。在代数世界里，未知数与已知数拥有同样的地位，可以平等地参与运算。

【片段二】课中，教师出示天平图（如图2），让学生观察。

图2

师：请仔细观察，把你看到的情况用数学的语言记录下来。

（学生记录，交流汇报）

生：我写的是50+50=100。

师：有一个鸡蛋，不知道它有多少克，如果把鸡蛋放到天平一边（将天平上一个50g的砝码换成鸡蛋），可能出现什么情况？把你想到的情况用数学的语言记录下来，看谁想得全面。

（学生先写，再交流汇报）

生：我写的是“相等”“不相等”。我觉得用鸡蛋换一个砝码，天平两边有相等和不相等两种情况。

生：我写了三道算式：左右两边相等，用“鸡蛋+50=100”表示；左边重一些，用“鸡蛋+50＞100”表示；左边轻一些，用“鸡蛋+50＜100”表示。

师：很好！从两种情况到三种情况，分得越来越清楚了。对于天平左右两边相等的情况，“鸡蛋+50=100”还可以表示得更简洁一些吗？

生：x+50=100。

……

师：经过刚才的研究，我们有这么多的式子。下面来分分类吧。

（学生小组讨论将式子分类，汇报）

生：我们按“等式”和“不等式”分成两类。

生：我们按有没有字母分成两类。

师：在等式里面有些没有字母，有些有字母，像这类含有字母的等式，知道叫什么吗？

生：（轻轻地说）方程。

师：刚才有学生提到“方程”这个词，这些有字母的等式就叫方程。你能把这些式子放到“等式”和“方程”这两个圈里吗（如图3）？

图3

（学生讨论、交流）

生：6+x=14，y－28=35，它们既是方程又是等式。如果把等式的圈变得大一点，方程的圈可以放到等式里面去。

（动画展示等式集合圈包含方程集合圈）

师：是呀，方程都是等式，但等式不一定是方程。

【赏析】方程概念较为抽象，其与等式的关系常常困扰学生。许老师从天平两边平衡这一等量关系入手，将一个50g的砝码换成鸡蛋，由于鸡蛋的质量未知，学生的学习置于解决问题的背景中，方程自然而然地出现。由用自然语言去阐释可能出现的情况到用数学语言来表达所见的现象，学生的表达逐步数学化。在这样解决问题的背景中，学生自然而然地与“等式”“不等式”“方程”相遇。在对这些式子分类时，先将两个集合图分开，让学生判断式子放到哪个集合图中，这样既巩固了对“方程”和“等式”概念的理解，又能很好地辨析两者的关系，既渗透了集合的思想，又培养了学生的整体思维。

【片段三】课尾，再次照应开头的素材，展开交流与分享。

师：在“7＋3＝10”中，大家都赞同写成“7＋□＝10”，现在你能用今天学的知识说明一下吗？

生：这里的“3”是未知数，可以用x表示，写成7+x=10。

生：（惊奇地）原来这就是用方程解的呀！

师：这个问题里三个数量之间还有哪些关系呢？你能说说数量关系，并列出算式或方程吗？

生：可以用总人数－正在踢球的人数＝再来的人数，这时列出算式10-7=3。

生：还可以用总人数－再来的人数＝正在踢球的人数，这时列出方程10-x=7。

师：比比看，三个数量关系式，哪个更容易想到？

生：（纷纷表示）按顺序的数量关系最容易想到。

师：是呀，学习方程就是用最简便的思路解决问题。

【赏析】课尾，许老师再次呈现这一素材，让学生明白“7＋□＝10”中的“□”就是代表未知数的符号，原来一年级的数学学习就已经埋下了代数思维的种子！然而，许老师的教学并未止于此，而是跳出一种解法，让学生思考“正在踢球的人数”“再来的人数”“总人数”三个数量之间的关系有哪些。学生通过比较，认识到“由已知数量求结果”与“按照事件发展顺序来梳理数量关系”的不同，更加深刻地感受到方程的价值所在。我们分明可以感受到学生通过本节课的学习实现了从“对数量的理解”转向“对关系的探讨”，从“对数的关注”转向“对符号的关注”。