江苏高考卷解析几何分析与复习反思

郑玉梅

摘要：今年高考题出现的一题多解题，拓宽了学生的解题思路，培养了学生从不同视角分析问题和解决问题的能力。本文意在利用一题多解这种题型本质，最大化地挖掘高考试题的潜在价值，使我们在课堂教学中有针对性地组织内容，让教学过程着眼于方法，立根于本质。

关键词：高考；一题多解；策略

中图分类号：G633.65文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）03-095-2

今年高考的解析几何解答题，是一道平易近人的可求型交点问题，它改变了以往的大运算量，起点相对较低，更注重基础知识和基本技能的运用。

题目如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8。点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2。

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标。

一题多解

（1）略；（2）怎么求？思考方向不外乎两个：代数法或几何法。不难发现只要点P确定，则涉及的相关直线与点就全部确定，所以从P点的坐标入手成为解决本题的一个自然选择。

解法1由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）。设P（x0，y0）因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0。

当x0=1时，l2与l1相交于F1，与题设不符。

当x0≠1时，直线PF1的斜率y0x0+1，直线PF2的斜率y0x0-1。

因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为-x0+1y0，直线l2的斜率为-x0-1y0，

从而直线l1的方程：y=-x0+1y0（x+1），①直线l2的方程：y=-x0-1y0（x-1）。②

由①②，解得x=-x0，y=x20-1y0，所以Q（-x0，x20-1y0）。

因为点Q在椭圆上，由椭圆的对称性可知，Q和P关于y轴对称或者关于原点对称。x20-1y0=±y0，即x20-y20=1或x20+y20=1。又P在椭圆E上，故x204+y203=1。

由x20-y20=1x204+y203=1，解得x0=477，y0=377；x20+y20=1x204+y203=1，无解。

因此点P的坐标为（477，377）。

能否回避对斜率是否存在的讨论呢？若用向量来处理，就没有这些麻烦。

解法2设Q（x1，y1），由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，即（x0+1）（x1+1）+y0y1=0。

同理可得（x0-1）（x1-1）+y0y1=0，两式相减，得x1=-x0，所以x20-y0y1=1，

所以Q（-x0，x20-1y0）。以下略。

此处可能也会有同学采用三角设点。

解法3由（1）知，设P（2cosα，3sinα），Q（2cosβ，3sinβ），因为P为第一象限的点，所以α∈（0，π2），β∈（0，2π）。由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，

即（2cosα+1）（2cosβ+1）+3sinαsinβ=0，

同理，由PF2⊥QF2，得（2cosα-1）（2cosβ-1）+3sinαsinβ=0，

两式相减，得cosα=-cosβ，又α∈（0，π2），所以β∈（π2，π）或β∈（π，3π2），

若β∈（π2，π），则β=π-α，得sinβ=sinα，代入上式得，

3sin2α-4cosα+1=0（利用sin2α+cos2α=1），sin2α=37，cos2α=47，

又α∈（0，π2），所以sinα=217，cosα=277，所以，點P的坐标为（477，377），

若β∈（π，3π2），同理，发现不符合题意。综上，P（477，377）。

【说明】 利用三角设点，找到纵坐标的关系，当然，也可以借助诱导公式的使用，直接找到α、β的关系分情况求解。当然，有可以抓图形特征。

所以PF1-PF2=QF2-QF1 ②，

由①-②，PF2=QF1，由椭圆的对称性（或第二定义）可知，Q和P关于y轴对称或者关于原点对称。

以下同。

解法5因为PF1⊥QF1，PF2⊥QF，所以∠PF1Q=∠PF2Q=90°，

即∠PF1Q+∠PF2Q=180°。所以，四点P、F1、Q、F2在以PQ为直径的圆上。

设圆心为M，则M为线段PQ的中点且线段在F1F2的中垂线上（y轴）上，设M（0，t），设P（x0，y0），x0>0，y0>0，则Q（-x0，2t-y0），

由P、Q均在椭圆上，x204+y203=1（-x0）24+（2t-y0）23=11+t2=x20+（y0-t）2，

所以P（477，377）。

一题多思

不难发现解法1、2、3在本质上没什么区别，都是最平实的思路，通过设点，转化为纯坐标运算，依托于直线与椭圆联立，一算到底使问题得以解决，可以视为通性通法。值得注意的是解法1中要对斜率是否存在进行讨论。

解法4和解法5都是建立在对几何图形特征的分析上，直接找到P、Q坐标的关系，最终回到解析几何的核心——坐标法解决。

在以上5种解法里，函数与方程思想贯穿始终，有的算的多、算的巧，有的想的多，算的少，归纳一下有两个要点：

1.数形结合意识很重要：解析几何仍是一种“几何”，对图形特征的分析必不可少，一定要仔细分析图中的点、线、角特征，因为这些元素都有可能构成等量关系；

2.计算能力要足够强：解几的本质是坐标法，代数运算必不可少，计算量的大小与解题方向的选择关系密切，但在考试中我们无暇顾及比较不同算法的优劣，就只能遵循“只要解题方向正确，就一算到底”的原则。

2018备考启示

在高考创新试题层出不穷的大环境下，回顾前几年的解析几何题，笔者认为可以得到以下几点启示：

1.继续注重基础知识与基本技能的训练

学生基础扎实，能力自然提升。备考时，不能一味的重难题和偏题，而忽视基础。教师要对每个知识点和方法点做到心中有数（高考考什么？怎么考？学生应该掌握到什么程度？学生学习的难点在哪？障碍将在哪里产生？分化点在哪里？如何分析难点等），教学中要注重课本的回归、重视通性通法的总结，基础知识和基本技能的落实。

2.注重以能力立意

面对圆锥曲线的计算问题，广大学子为什么会如此恐惧呢？究其根源，原因一般在两个方面：一、解几对解题方法的选择要求比较高，选择合适的切入点可以简化运算；二、对计算方法和技术能力的要求比较高。但不少学生的现状是：计算能力的练习量不够，计算练习的有效性不够，计算技巧的把握还很欠缺，更重要的是，很多学生打心眼里反感，排斥，甚至从未试图计算出准确的答案来。对于掌握解析几何方法不多、计算技能和技巧少的考生来说，无疑是一道难以逾越的鸿沟。教学中，教师要能站在思想与方法、区别与联系、延伸与拓展的高度揭示解决问题的一般规律，形成方法体系，消除学生的恐惧，引导学生“反思再发现”，深化学生的理解，提高复习效率；

3.注重思想方法的渗透

解析几何教学的每一个环节要都要重视数形结合思想的渗透，当然，也包括函数与方程思想、转化与化归思想等等，还有极其重要的转换思想，要把思想渗透到分析与探究问题解决的细节过程中，思想及时总结，方法及时归纳，以提升认知理解能力和优化能力。