关于微分教学的几点思考

舒斯会

摘 要：微分是微积分的两个核心内容之一，文章作者根据多年微积分课程的教学实践，探讨了微分与导数的关系，提出了关于微分教学的几点思考和建议，旨在为广大教学同行提供一些有价值的参考。

关键词：微积分；微分；导数；微分模型

中图分类号：G642

文献标识码：A

一、微分与导数是两个不同的概念

虽然导数与微分的相互转化，可以得到可导一定可微，可微也一定可导，但它们不是一个完全相同的概念。第一，两定义的出发点不同。导数是通过切线斜率和瞬时速度计算导出的极限式，导数得到的是一个函数。而微分是函数增量的线性近似，微分强调微分式的总体性，讨论某一点的微分意义不大，所以讲课时应尽量避免，微分概念更体现微积分思想方法——无限细分、近似、取极限。第二，它们的应用方式有区别。导数作为函数应用非常广，如判断函数的单调性、求切线、求极值等。而微分的主要的应用不应该是近似计算，用微分近似计算误差大而且还不能控制误差，微分的主要应用应该是建立实际问题的微分模型。所以我们建议在微分教学中，重点讲微分模型的建立和应用。第三，微分和不定積分是互为逆运算，微分是为了积分。因此，我们建议最好用微分来定义不定积分，而不是用导数。

二、微分与导数同等重要

在绝大多数微积分教材中，导数占很大篇幅，而微分只占很小篇幅，这给人感觉微分是导数的附属品。其实微分和导数一样同等重要，微分更体现微积分思想，微分对后面的定积分微元法理解起决定性作用。实际问题中的微分模型的建立更体现微分的本质和重要性，所以我们建议把微分模型的建立及应用作为微分的主要内容来讲。