条件NA序列乘积部分和序列的Doob型不等式

冯德成, 周 霖, 张 潇

(西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070)

1 预备知识

本文中提到的随机变量序列均是定义在概率空间(Ω,A,P)上的,EFX表示随机变量X的条件数学期望,即EFX=E[X|F].这里的F是A的一个子σ-代数.I(A)表示集合A的示性函数.

设X和Y是定义在概率空间(Ω,A,P)上的随机变量,且EX2<∞,EY2<∞,F是A的子σ-代数,X和Y的条件协方差(F-协方差)定义为

CovF(X,Y)=EF((X-EFX)(Y-EFY)).

定义1[1] 称随机变量序列{Xi,1≤i≤n}是NA的,如果对分别定义在R|A|和R|B|上任意2个使下述协方差存在且分量不减的函数f和g有

Cov(f(Xi,i∈A),g(Xj,j∈B))≤0,

其中,集合A和B是数集{1,2,…,n}的一个划分,|A|和|B|分别表示集合A和B中元素的个数.

随机变量序列{Xn,n≥1}称作NA的,如果它的任意有限子序列都是NA的.

Roussas[2]提出了条件负相协的概念.

定义2称随机变量序列{Xi,1≤i≤n}是(给定F下)条件负相协的(简称条件NA列),如果对分别定义在R|A|和R|B|上任意2个使下述条件协方差存在且分量不减的函数f和g有

CovF(f(Xi,i∈A),g(Xj,j∈B))≤0,a.s.,

其中,集合A和B是数集{1,2,…,n}的一个划分,|A|表示集合A中元素的个数.

随机变量序列{Xn,n≥1}称作条件NA的,如果它的任意有限子序列都是条件NA的.

定义3[3] 设{Sn,n≥1}是L1上的一列随机变量,如果对任意1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≤0,a.s.,

其中,f是任意分量不减的函数且使上述条件期望有意义,那么称{Sn,n≥1}是N-弱鞅.如果进一步假定f是非负函数,则称{Sn,n≥1}是N-弱上鞅.

定义4设{Sn,n≥1}是L1上的一列随机变量,如果对任意1≤i

EF[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≤0,a.s.,

其中,f是任意分量不减的函数且使上述条件期望有意义,那么称{Sn,n≥1}是(给定F下)条件N-弱鞅.如果进一步假定f是非负函数,则称{Sn,n≥1}是条件N-弱上鞅.

对任意一个随机变量X,若满足E|X|<∞,则由条件期望的性质有E(E(X|F))=E(X).所以,定义在概率空间(Ω,A,P)上的条件N-弱(上)鞅一定是概率空间(Ω,A,P)上的N-弱(上)鞅,反之未必.

自N-弱鞅和条件N-弱鞅的定义提出以后,许多学者对其做了相关研究.Prakasa[5]得到了N-弱鞅的Chow型不等式;Prakasa[6]又建立了弱下鞅和N-弱上鞅的一些最大值不等式;Christofides等[7]得到了N-弱鞅的Azuma不等式;Hadjikyriakou[8]证明了非负N-弱鞅的Marcinkiewicz-Zygmund型不等式,并讨论了非负N-弱鞅的完全收敛性;Wang等[9]得到了N-弱鞅的Doob型极大值不等式,并证明了在p>1时N-弱鞅的强大数定理;Yang等[10]也得到了N-弱鞅的最大值不等式;Christofides等[11]给出了条件弱鞅的最大值不等式和矩不等式,以及条件N-弱鞅的Chow型不等式和Azuma型不等式;此后Wang等[12]得到了条件N-弱鞅的Chow型不等式,以及条件弱鞅和条件N-弱鞅的一些最大值不等式;Wang等[13]得到了基于cY函数的条件弱鞅和条件N-弱鞅的最大值不等式;文献[14]将已有的基于cY函数的弱鞅和N-弱鞅的一些最大值不等式推广到了条件弱鞅和条件N-弱鞅的情形等.

文献[15]给出了NA序列与独立非负随机变量序列乘积部分和序列的极大值不等式,受此文影响,本文得到了条件NA序列与非负F-可测随机变量序列乘积部分和序列的Doob型不等式.

2 主要结论及其证明

引理1[11] 设{Sn,n≥1}是条件N-弱鞅,则对任意的F-可测随机变量ε>0 a.s.有

引理2[11] 设{Sn,n≥1}是条件N-弱鞅,则对任意的F-可测随机变量ε>0 a.s.有

引理3[11] 设X是一个非负的随机变量且r>0,则

证明设f是非负的且分量不减的函数,则

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]=

EF[Xn+1Yn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)[CovF(Xn+1,f(T1,…,Tn))+

EF(Xn+1)EF(f(T1,…,Tn))].

由于EF(Yn+1)≥0 a.s.,EF(Xn+1)≤0 a.s.,且f是非负的,有

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]≤0, a.s.,

所以Tn是条件N-弱上鞅.

设f是分量不减的函数,若对于任意的k,有EF(Xk)=0 a.s.,则

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]=

EF[Xn+1Yn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1){EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]-

EF(Xn+1)EF(f(T1,…,Tn))}=

EF(Yn+1)CovF(Xn+1,f(T1,…,Tn))≤0,a.s.,

即得Tn是条件N-弱鞅.

作为引理1和引理2的应用,下面是条件NA序列乘积部分和序列的Doob型不等式.

(1)

(2)

证明由定理1得Tn是非负条件N-弱鞅,再由引理1、引理3和条件Hölder不等式得

由上式易得(1)式.

再由推论1,并且类似于(1)式的证明得

对于a≥0,b≥0,满足alog+b≤alog+a +be-1,因此有

(3)

将(3)式移项整理即得(2)式,即证.

证明在定理2中,若对于任意的n≥1,令Yn=1a.s.,则Yn关于F-可测,即证.

证明由引理2和引理3得

证毕.

在定理3中,若对于任意的n≥1,令Yn=1a.s.,则有下面的推论.

致谢西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目(NWNU-LKQN-11-2)对本文给予了资助,谨致谢意.

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