半群OIn(k,m)的秩

易 林， 游泰杰， 赵 平

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550001)

设[n]={1,2,…,n},并赋予自然序,Tn、Pn、In和Sn分别是[n]上的全变换半群、部分变换半群、对称逆半群和对称群.设α∈Pn,若对任意x,y∈dom(α),x≤y⟹xα≤yα,则称α是保序的.设On为Tn中所有保序变换之集(不含[n]上的恒等变换),则On是Tn的子半群,称On为[n]上的保序变换半群;设POn为Pn中所有保序变换之集(不含[n]上的恒等变换),则POn是Pn的子半群,称POn为[n]上的部分保序变换半群;设OIn为严格对称逆半群InSn中的所有保序变换之集,则OIn是InSn的逆子半群,称OIn为保序严格部分一一变换半群.对任意1≤k,m≤n,令

On(k)={α∈On:(∀x∈[n])x≤k⟹xα≤k},
POn(k)={α∈POn:(∀x∈dom(α))x≤k⟹xα≤k},
POn(k,m)={α∈POn:(∀x,y∈dom(α))x≤
k⟹xα≤k,y≥m⟹yα≥m},

则On(k)、POn(k)和POn(k,m)均是POn的子半群.

通常,一个半群S的秩定义为

rank S=min{|A|:A⊆S,〈A〉=S}.

变换半群秩的相关研究一直以来都是半群理论研究中的热点之一[1-9].特别地,文献[1]证明了On(=On(n))的秩是n和POn(=POn(n))的秩是2n-1;文献[2]得到了半群On(k)秩是n;文献[3]得到了半群POn(k)秩为2n-1;文献[4]得到了半群POn(k,k+1)秩为2n-2和半群POn(k,m)(m≠k+1)秩为2n-1;文献[5]研究了半群OIn的表示与秩,得到了半群OIn的秩是n.本文将考虑半群

OIn(k,m)={α∈OIn:(∀x,y∈dom(α))x≤
k⟹xα≤k,y≥m⟹yα≥m}

的秩,其中1≤k≤n-1,2≤m≤n,证明了半群OIn(k,k+1)的秩为n,且半群OIn(k,m)(m≠k+1)的秩为n+2.注意到,当k=n,m=1时,OIn(n,1)=OIn.因此,本文是对文献[5]结果的推广.

设U是半群S的任意子集,通常用E(U)表示U中所有幂等元构成的集合.本文未定义的术语及记法参见文献[10-12].

1 预备知识

为了叙述方便,在OIn(k,m)上引入下面二元关系:对任意α,β∈OIn(k,m),定义：

αR◇β⟺ker(α)=ker(β)，

αL◇β⟺im(α)=im(β)，

αJ◇β⟺|im(α)|=|im(β)|，

2 主要结果及证明

证明任意取

情形2若α为非恒等变换,则以下分5种子情形讨论:

1)m≤br≤k.由b1

2)m≤k

(i) |{1,2,…,m-1}{a1,…,as-1}|=0且|{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|=0.注意到

令

(ii) |{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|=1.由r≤n-2可得存在2个不同元素x,y∈[n],使得x∈{1,2,…,k}{a1,…,ai-1},y∈{k+1,k+2,…,n}{bi,…,br}.假设au

(iii) |{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|≥2.令

3)k≤mm(s

4)k≤br

5)br

令

G(k,m)=

引理2设1≤k≤n-1,且2≤m≤n,则

情形1k+1=m.以下分4种子情形讨论:

2) 若j≤i≤m-1,易验证

4) 若m

情形2k+1

2) 若j≤i≤k≤n-1,易验证

3) 若k+1≤j≤i≤m-1,易验证

4) 若k+1≤j≤m-1≤i≤n-1,易验证

6) 若m≤j

情形3m≤k.以下分6种子情形讨论:

2) 若1

3) 若1≤j≤m-1≤i

4) 若m≤j≤i≤k,易验证

6) 若m≤j≤i

引理3设α,β∈OIn(k,m),若

(α,β)∈J◇, (α,αβ)∈J◇,

则

(αβ,β)∈L◇, (α,αβ)∈R◇.

证明对α,β∈OIn(k,m),若

(α,β)∈J◇, (α,αβ)∈J◇,

则

|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|.

再由im(αβ)⊆im(β),ker(α)⊆ker(αβ)(由|im(α)|=|im(αβ)|易得dom(α)⊆dom(β),从而ker(α⊆ker(αβ))可得im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ)).因此

(αβ,β)∈L◇, (α,αβ)∈R◇.

证明假设

且ci=bi(i∈{1,2,…,n-1}),从而可得

对任意0≤r≤n-1,记

OIn,r(k,m)={α∈OIn(k,m):|im(α)|≤r},

则OIn,r(k,m)是半群OIn(k,m)的理想.显然OIn,n-1(k,m)=OIn(k,m).

为方便起见,引入符号

其中∧,Σ是[n]的任意2个非空子集.

引理5设1≤k≤n-1,且2≤m≤n,S是OIn(k,m)任意非空子集,则:

(i) 若m=k+1,则|S|≥n;

(ii) 若m≠k+1,则|S|≥n+2.

(ii) 若m≠k+1,则分以下2种情形讨论:

情形12≤k+1

其中

P1={1,2,…,k},
P2={k+1,k+2,…,m-1},
P3=[n](P1∪P2).

另一方面,将证明|S∩H◇(P1,P2)|≥1且|S∩H◇(P3,P2)|≥1.对任意α,β∈H◇(Pi,Pi)(i∈{1,2,3}),由引理3可得αR◇αβL◇β或αβ∈OIn,n-2(k,m).注意到,对任意α∈H◇(P1,P1),β∈H◇(P2,P2),则

再由引理4可得αβ即

αβH◇(P1,P2),

|S∩H◇(P1,P2)|≥1.

同理可证,对任意

α∈H◇(P3,P3),β∈H◇(P2,P2),

则

αβH◇(P3,P2),

|S∩H◇(P3,P2)|≥1.

情形22≤m≤k≤n.注意到

其中

P1={1,2,…,m-1},
P2={m,m+1,…,k},
P3=[n](P1∪P2).

证明过程类似情形1.

综合情形1和2可得:|S|≥n+2.

定理1设1≤k≤n-1,且2≤m≤n,则

证明由推论1及引理2可得

OIn(k,m)⊆〈G(k,m)〉,

从而

rankOIn(k,m)≤|G(k,m)|.

易验证

因此

[1]GOMESGMS,HOWIEJM.Ontheranksofcertainfinitesemigroupsoforder-preservingtransformation[J].SemigroupForum,1992,45(1):272-282.

[2] 张传军,赵平. 半群On(k)的秩[J]. 数学的实践与认识,2014,44(9):243-247.

[3] 李先崇,赵平. 半群POn(k)的幂等元秩[J]. 西南大学学报(自然科学版),2013,38(10):9-12.

[4] 张传军,朱华伟,肖宏治. 半群POn(k,m)的秩[J]. 西南大学学报(自然科学版),2016,41(6):6-11.

[5]FERNANDESVH.Themonoidofallinjectiveorderpreservingpartialtransformationsonafinitechain[J].SemigroupForum,2001,62(2):178-204.

[6] 徐波,冯荣权,高荣海. 一类变换半群的秩[J]. 数学的实践与认识,2010,40(10):222-224.

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