二元Kundu-Gupta型几何分布参数的最大似然估计

李建峰，李国安

（宁波大学 金融工程系，浙江 宁波 315211）

0 引言

Freund于1961年在文献[1]中引入了一类二元指数分布，其二元分布结构称之为Freund型。Marshall和Olkin于1967年在文献[2]中基于冲击模型提出了一类二元指数分布，其二元分布结构称之为Marshall-Olkin型。Sun和Basu在文献[3]中获得了二元Marshall-Olkin型几何分布的一个特征。Basu和Dhar在文献[4]中讨论了二元Marshall-Olkin型几何分布的概率统计性质。Krishna和Pundir在文献[5]中讨论了二元Marshall-Olkin型几何分布在可靠性模型中的应用。Dhar在文献[6]中用二元Freund型几何分布进行数据拟合，并给出了参数估计。Li和Dhar在文献[7]中提出了一类二参数二元几何分布。李国安和李建峰在文献[8]中提出了一类新的二参数二元几何分布，并拓展至多元形式。Kundu和Gupta在文献[9]中提出了二元一般指数分布，并给出了参数估计。其二元随机变量的构造为双maximun型混合结构，称之为Kundu-Gupta型。在本文中引入二元Kundu-Gupta型几何分布，根据参数的可识别性说明参数的可估计性，先讨论二元Kundu-Gupta型几何分布的参数的识别性，然后讨论二元Kundu-Gupta型几何分布的参数估计。在1978年，Basu和Ghosh在文献[10]中讨论了二元分布函数参数的识别性，并完整地解决了二元正态分布参数的识别性。本文从二元分布参数的识别性着手，导出了二元Kundu-Gupta型几何分布的识别特征，由此说明了总体(X，Y)与对应识别总体(U，I)的等价性，并得到了基于来自总体(U，I)之样本的参数的最大似然估计。

1 二元Kundu-Gupta几何分布的识别性

二元Kundu-Gupta型几何分布定义如下：

定义1：称(X，Y)服从二元Kundu-Gupta型几何分布，是指当且仅当存在三个相互独立的服从几何分布的随机变量U1，U2，U3，其中U1～G(p1)，U2～G(p2)，U3～G(p3)；使得X=max(U1，U3) ，Y=max(U2，U3) ，记 作 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)。记 p=1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)。

引理 1：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)，则 U 的分布函数为：

证明：

引理2：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)，则 (U，I)的联合生存分布为：

得(U，I)的联合生存分布：

定 理 1：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3) ，(X′，Y′)～BGD，若已知U与U′同分布，则所有参数皆不可识别。

证明：略。

定 理 2：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3) ，(X′，Y′)～BGD若已知 (U，I)与 (U′，I′)同分布，则所有参数皆可识别。

证明：由

2 二元Kundu-Gupta型几何分布的参数估计

引理3：若(X，Y)服从二元Kundu-Gupta型几何分布，则(X，Y)～BGD(p1，p2，p3)当且仅当(U，I)的联合生存分布为：

证明：略

由此可见：来自总体 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)的样本与来自对应总体(U，I)的样本等价，从引理3出发，直接获得了所有参数的最大似然估计。

定理 3：设 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)是总体，(X1，Y1)，...，(Xn，Yn)是来自总体(X，Y)的容量为 n的样本，记Ui=max(Xi，Yi)，定义随机变量 Ii=1，2，3 分别对应于 Xi>Yi，Yi>Xi，Xi=Yi时，i=1，...，n ，(U1，I1)，...，(Un，In)是来自总体(U，I)的容量为n的样本，则参数 p1，p2，p3的最大似然估计分别为以下方程的解：

证明：似然函数为：

并有似然方程：

记：

则有：

因此，在参数空间(0,1)上，似然方程有唯一解。

注记：上述方程只有隐式解，需通过数值计算及模拟，才能得到参数估计的近拟值

3 模拟分析

选取 p1=0.3，p2=0.6，p3=0.9；得到模拟，结果见表1所示。

表1 二元随机变量 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)之随机数的模拟结果

由模拟分析可知：仅是U的分布已知时，所有参数皆不可识别，当(U，I)的分布已知时，所有参数皆可识别，即所有参数皆可估计。

[1]Freund J E.A Bivariate Extension of the Exponential Distribution[J].Amer.Statist.Assoc.,1961,(56).

[2]Marshall A W,Olkin I.A Multivariate Exponential Distribution[J].Am⁃er.Statist.Assoc.,1967,62(1).

[3]Sun K,Basu A P.A Characterization of a Bivariate Geometric Distribu⁃tion[J].Statist.Probab.Lett,1995,(23).

[4]Basu A P,Dhar S K.Bivariate Geometric Distribution[J].Appl.Statist.Sci.1995,(2).

[5]Krishna H,Pundir P S.A Bivariate Geometric Distribution With Appli⁃cations to Reliability[J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2009,38(7).

[6]Dhar S K.Data Analysis With Discete Analogue of Freund's Model[J].J.Appl.Statist.Sci.1998,(7).

[7]Li J,Dhar S K.Modeling With a Bivariate Geometric Distribution[J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2013,42(2).

[8]李国安,李建峰.一个新的二参数二元几何分布及其多元推广[J].宁波大学学报,2017,30(1).

[9]Kundu D,Gupta R D.Bivariate Generalized Exponential Distributions[J].Journal of Multivariate Analysis,2009,(100).

[10]Basu A P,Ghosh J K.Identifiability of the Multinorma and Other Dis⁃tributions Under Competing Risks Model[J].Journal of Multivariate Analysis,1978,8(3).