基于结构动态响应的载荷识别研究

李旭娟，缪炳荣，李国芳，史艳民

(1. 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室 四川 成都 610031； 2. 兰州交通大学 机电工程学院 甘肃 兰州 730070)

0 引言

工程中的许多实际结构部件都可以简化为悬臂梁结构模型，对其进行动态响应分析能够了解在各种载荷条件下的结构特性，并得到变形、转矩以及动态力等设计的必要信息[1]。载荷响应分析属于振动力学的第一类问题，即已知结构上的载荷和结构系统的参数，来求系统的动态响应。在没有充足数据的情况下来开发一个完整的模型，其属于振动力学的第二类逆问题，它是在已知结构系统参数的情况下，根据结构承受载荷时测得的内部有限点的响应，反过来求出作用在结构上的载荷，这类问题被称为动态载荷识别或者载荷重构[2-3]。

X. Q. Zhu和S. S. Law[4]研究了从测量的结构振动响应来识别作用在连续梁上的移动载荷的时域方法 。C.-K. MA等[5]研究了基于Kalman滤波器和回归最小二乘算法的逆方法来估计了悬臂梁结构的输入力，仿真结果表明该方法识别效果较好。S.S.Law和Z.R. Lu[6]等研究了将桥面模拟为简支梁的预应力识别问题，是基于通过模态叠加法求解预应力的动态响应，以及系统识别方法和Tikhonov正则化技术解决逆问题病态的研究。R. Hashemi和M. H. Kargarnovin[7]研究了作用在简支梁的脉冲力识别，利用遗传算法来求解被考虑为优化问题的力识别问题，其中，目标函数是分析和测量的响应之差。Z.R. Lu和S.S. Law[8]研究了基于结构响应敏感性来识别结构系统参数和输入激励力的方法，包括正弦的输入力和脉冲输入力，并且假设输入力位置已知。Roza Sieniawska等[9]提出了一种线性结构的弹性刚度识别方法，通过整合输入和输出信号将动态问题转换成静态问题。Tsung-Chien Chen[10]研究了从测量桥梁结构的动态响应来估计输入力的逆方法，利用了Kalman滤波器(KF)和回归最小二乘估计器(RLSE)的算法。

1 理论背景

1.1 动力学方程

以悬臂梁模型为研究对象，基于伯努利-欧拉梁理论，对结构加载随时间和空间变化的外部动态激励f(x,t)。

图1 悬臂梁结构受力示意图

在只考虑弯曲变形的情况下，分析其受力情况，如图1所示，建立悬臂梁结构在受到外部动态激励时的弯曲振动方程[12]。

(1)

其中，悬臂梁结构的长度为L，矩形截面面积为A，横截面尺寸为h×b(b表示梁截面的宽度，h表示梁截面的高度)，截面惯性矩为I，弹性模量为E，梁的密度为ρ，且认为采用的结构材料为均匀线弹性材料。w(x,t)表示在y轴方向x位置、t时刻的梁的挠度响应。具体的材料参数如表1所示。

表1 悬臂梁结构参数

1.2 特征值求解及模态响应

模态分析是用来确定结构振动特性以及结构固有频率和阵型，是所有动力学分析的基础，为结构动态特性的分析提供了有效的手段。针对悬臂梁结构的模态分析，其运动学方程为：

(2)

通过求解，得到悬臂梁在弯曲变形下模态主振型的一般表达为：

(3)

其中：i=1，2，3，...，10，表示模态的阶数。

根据模态主振型表达式，得到系统的模态响应为：

w(x,t)=

(4)

针对悬臂梁结构的模态响应分析，通过ANSYS求解出系统的固有频率和主振型。MATLAB计算得到的准确固有频率值和ANSYS分析得到的固有频率值的比较如图2所示。其中，误差计算公式为：

(5)

图2 准确值和ANSYS得到的固有频率值比较

1.3 动态响应

首先进行正问题研究，即已知系统的外部激励和结构系统参数，求解系统响应。载荷识别的一个关键是系统的动态特性(这里指悬臂梁结构系统的动力学方程)，及结构系统所测量的动态响应[15]。动态响应关系到输入的激励力的识别，因此动态响应的准确求解也是非常关键的。

图3 两个输入力作用的悬臂梁

对悬臂梁结构在x=0.2，x=0.4处同时施加外部垂直动态激励力分别为：f1(t)=10sin(10t)，f2(t)=20sin(10t+π/2)，如图3所示。由于是线性系统，施加的外部动态激励可以表示为简谐载荷：

f(x,t)=f1(t)δ(x-0.2)+f2(t)δ(x-0.4)。

其中，δ(x)表示狄拉克函数。且δ(x-C)具有以下性质：

(6)

其中：C为常数。

同样的，根据式(1)，应用分离变量法并进行整理，采用振型叠加法求解，且引入模态坐标，取前10阶，得到：

(7)

写出悬臂梁结构系统的物理参数模型：

(8)

由单自由度无阻尼系统受迫振动问题相关理论，在零初始条件下，得到[14]：

(9)

(10)

其中：式(10)表示在悬臂梁的长度范围内的积分。将外部激励力式(10)代入到式(9)中，求解系统在外部动态激励的响应：

(11)

2 输入力识别

根据悬臂梁结构的动力学方程以及求解的动态响应，建立系统的动载荷识别模型。力识别问题属于载荷识别问题研究范畴，而单自由度系统的结构载荷识别则是载荷识别问题中最简单典型的一种，通常载荷识别问题最终都归结为单自由度系统的载荷识别模型[15]。

对于悬臂梁结构系统，分别施加2个输入力载荷，如图3所示。根据式(11)，进行傅里叶变换，得到系统动态响应的频域表示形式：

(12)

其中：系统输出、输入的傅里叶变换式分别为：

(13)

(14)

(15)

且F1(w)、F2(w)表示系统输入力载荷，W1(w)、W2(w)表示系统的输出。

令：

(16)

其中：a表示输入力作用在悬臂梁结构上的位置，取a=0.2、0.4；k表示悬臂梁结构上的响应所研究的位置，取k=0.6、0.8。

系统的输入(多输入)输出(多输出)关系为：

[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8][F1;F2]=[W1;W2]

(17)

对式(17)直接求逆可得到输入力的频域表示式：

[F1;F2]=[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8]-1[W1;W2]

(18)

再对梁结构的频域外部激励F1、F2分别进行傅里叶逆变换，得到输入力载荷的时域表达式分别为：

f1=10sin10t-0.002 818cos10t

(19)

f2=20sin(10t+π/2)+8.72×10-5cos(10t+π/2)

(20)

图3和图4所示为识别的力载荷时间历程，可以看出，这种方法对于正弦波输入力具有良好的识别效果，误差约为0.09%，这是因为所建立的载荷识别模型比较好，使得力载荷识别的精度较高。

图4 识别的外部激励F1

图5 识别的外部激励F2

3 结语

主要研究了基于系统动态响应来识别结构输入力的求解方法。对悬臂梁结构施加动态简谐载荷，根据其数学物理方程求解动态响应，然后对响应进行傅里叶变换和傅里叶逆变换，获得输入力的时间历程。识别结果表明，这种方法对于正弦波输入力具有良好的识别效果，识别误差约为0.09%；建立的载荷识别模型比较好，使得动态载荷识别的精度较高。对于单自由度系统的载荷识别问题，该方法具有一定的可行性。

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