一种新的降维多级维纳滤波算法

王 妙，黄世超，刘 涛

(中国人民解放军95430部队，四川 成都 610081)

Goldstein等人在维纳滤波基础上提出了多级维纳滤波算法(GRS-MWF)[1]，该算法中的阻塞矩阵维数随着分解的进行而逐级递减，但每级分解需要消耗大量的存储单元且计算量较大。在GRS-MWF基础上，文献[2]提出了基于相关相减结构的实现算法(CSA-MWF)，该算法避免了阻塞矩阵的求解，有效降低了计算量，但在分解过程中观测数据并没有随着分解的进行而降维。文献[3]提出了基于Householder变换的MWF(HMWF)，使得阻塞矩阵在分解过程中逐级降维，但HMWF每一级构造Hi需进行3N(假设hi的维数为N×1维)次复数乘法，计算量依然较大。文献[4-7]将HMWF改进后应用于卫星导航接收机抗干扰，文献[8]将HMWF应用到无线传感器网络。

本文首先推导了一种特殊酉矩阵，进而将该酉矩阵引入到MWF中，得到一种新的降维多级维纳滤波算法。然后根据递推表达式，给出该算法的有效实现结构。最后通过仿真实验，对新算法的降维性能、干扰抑制性能以及数值稳健性进行了验证。

1 算法原理

多级维纳滤波器由分解滤波器组和合成滤波器组组成[9]，结构如图1所示。其中分解滤波器组由匹配滤波器hi和阻塞矩阵Bi构成。图中：

(1)

式中，rxi-1di-1是前一级参考信号和观测数据的互相关函数，“‖ ‖”表示求2范数。Bi=mull(hi)为阻塞矩阵，Bihi=0。

图1 MWF结构

为了重构Qi，首先给出如下命题：

证明：

1) 证明Q的存在性

当x=‖x‖z时，vHx=0，则有：

Qx=(I-βvvH)x=x-βv(vHx)=x=‖x‖z.

(2)

当x≠‖x‖z时，则有：

Qx=(I-βvvH)x=x-βv(vHx)=x-v=‖x‖z.

(3)

2) 证明Q为酉矩阵

QQH=[I-βvvH][I-β*vvH]=

I-β*vvH-βvvH+β*βvvHvvH.

(4)

由于vHv为常数，(4)式可写为：

QQH=I-(β*+β)vvH+β*vHvβvvH]=

I-(β*+β)vvH+(βv)HβvvvH=

I-(β*+β-(βv)Hβv)vvH.

(5)

考虑(5)式中的β*+β-(βv)Hβv项：

(6)

由v=x-‖x‖z可知：

vHx+xHv-vHv=0 .

(7)

结合(5)式、(6)式和(7)式得：

QQH=I.

(8)

同理可证QHQ=I。

令命题中的x=hi，z=e1，由‖hi‖=1得：

vi=hi-e1 .

(9)

则

(10)

其中vi,1表示vi的第一个元素。

则变换矩阵Qi可表示为：

(11)

使得Qihi=e1。

由以上推导可知，若hi为(M-i)×1维匹配滤波器，则Bi为(M-i-1)×(M-i)维阻塞滤波器。Xi-1(k)通过Qi变换后得到两路信号，其中上支路为参考信号：

(12)

下支路为观测数据：

Xi(k)=BiXi-1(k) .

(13)

由式(13)可知，在分解过程中，实现了观测数据Xi(k)的降维。

将Qi替换MWF中的hi、Bi即得到降维多级维纳滤波器(RD-MWF)，结构如图2所示。

图2 RD-MWF基本结构

2 实现结构

结合(11)式，RD-MWF对输入信号进行分解时，各级输出信号为：

(14)

通过(14)式即可以到RD-MWF的一种有效实现结构，如图3所示。

图3 RD-MWF有效实现结构

级数为r的RD-MWF的迭代算法总结如下：

向前递推：fori=1,2,…,r

vi=hi-e1i.

end

向后初始化：εr(k)=dr(k) .

向后递推：fori=r,r-1,…1

end

3 仿真与分析

实验1：降维性能比较

设阵列的阵元数为M，快拍数为K，三种MWF的秩均为r，则GRS-MWF的计算量为O(M2K)，RD-MWF和CSA-MWF的计算量仅为O(MK)，但RD-MWF的计算量比CSA-MWF低Kr(r+1)次。

假设阵列的阵元数为100，快拍数为200。图4仿真了三种算法的计算量与秩的关系。由图可知，RD-MWF所需的乘法次数小于CSA-MWF，而远远小于GRS-MWF。

图4 三种MWF的计算量与秩的关系曲线

实验2：干扰抑制性能比较

考察一均匀线阵，阵元数M=16，阵元间距为半波长。期望信号入射角为10°，3个非相关窄带干扰，干噪比均为30 dB，入射角分别为-40°，20°和40°，快拍数K=M。由文献[9]可知，当秩r与干扰个数相等时可以获得最大输出信干噪比，本试验最佳秩r=3，比较三种MWF与LCMV-SMI算法的方向图，结果如图5所示。由图可知，四种算法均能在干扰方向形成零陷，但LCMV-SMI算法方向图旁瓣发生明显畸变，GRS-MWF算法旁瓣较高，说明该两种算法在小快拍下对噪声抑制不理想。而CSA-MWF与RD-MWF算法方向图一致，且方向图旁瓣较GRS-MWF算法低，即可以有效抑制噪声。

实验3：数值稳健性比较

实验条件与实验2相同，进行5次Montel Carlo仿真，结果如图6所示。由图可知，LCMV-SMI和GRS-MWF算法方向图每次均不一样，即数值稳健性差，且旁瓣较高。而CSA-MWF和RUMWF算法方向图几乎重合，即数值稳健性好，同时旁瓣较低。

图5 方向图比较(1次仿真)

图6 方向图比较(5次仿真)

4 结论

本文研究了一种更加高效的降维多级维纳滤波算法，同时给出了有效实现结构。仿真实验表明，该滤波器兼备了CSA-MWF良好的数值稳健性和GRS-MWF的降维特性，在干扰抑制上与CSA-MWF有着完全一致的性能，但计算量要低于CSA-MWF和GRS-MWF，因此新算法更具实用性。

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[3] Marcello L R , Werner S , Jose A, et al.On an Efficient Implementation of the Multistage Wiener Filter Through Householder Reflections for DS-CDMA Interference Suppression[A].IEEE GLOBECOM,2003:2350-2354.

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[5] 黄庆东,张林让,卢光跃,等.一种改进HMSWF导航接收机空时抗干扰方法[J].电子与信息学报，2011,33(10):2526-2530.

[6] 张彦军,栗苹.改进的全球卫星导航系统阵列抗干扰方法[J].探测与控制学报，2016,38(1):7-12.

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[8] 黄庆东,庞胜利,卢光跃.基于Householder多级维纳滤波器的全联通WSN分布式LCMV波束形成器方法[J].电子学报，2015,43(2):283-288.

[9] 王永良,丁前军,李荣锋.自适应阵列处理[M].北京:清华大学出版社,2009.