理解运算含义，提高运算能力

王成杰

不少同学平时在数学解题中不明算理、机械套用运算公式，不顾运算目标，盲目地进行推理演算，运算过程中缺乏选择合理、简捷的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高，误以为是“马虎”、“粗心”造成运算错误，平时解题认为“只要方法对，做错了不要紧”.以上问题的根本原因是对运算能力的内涵缺乏科学认识.

一、什么是运算求解能力

数学能力是一种稳定的个性心理特征，是数学素质在数学活动中的外化.高考对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件与目标寻找与设计合理简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.

1.高中阶段常见运算形式

（1）数的运算（含复数运算）；

（2）代数式的运算（法则、运算律）；

（3）幂、指数、对数（函数）运算；

（4）三角（函数）运算；

（5）向量运算；

（6）导数运算；

（7）方程与不等式运算（强调算法）；

（8）抽象运算.

几何量的运算一般可归结为以上运算.

2.运算的方法与技能

（1）记住数学计算公式、法则，并能准确地运用公式和法则进行运算；

（2）应用概念、性质、定理进行有关的运算；

（3）在进行各种运算时，结果准确、速度迅速、过程合理；

（4）进行各种查表和使用计算器计算（高考不考查）.

3.运算的逻辑思维要求

（1）合理使用公式、法则；

（2）运算方法和过程较为简捷；

（3）对自己的运算结果进行检查验算和判断；

（4）自我改正运算中的各类错误；

（5）简化运算过程，运用简缩思维、整体思维进行“跳步”运算；

（6）较熟练地进行心算、速算、估算；

（7）会进行推理计算；

（8）熟练运用数学思想方法优化运算.

二、培养运算求解能力

发展运算能力的大致过程是：知识→技能→能力；相应的要求分别是：懂知识、会技能、能变通.

1.建构完善系统的知识体系

准确理解有关知识，定义、概念理解准确无误，对于考试说明中的简单的知识点要能直接使用，对于较复杂的知识点要弄清概念的发生、概括形成过程，主要公式、定理要掌握其发现、推导过程，还要掌握它们的各种等价变形，如余弦定理的推导过程与常见的恒等变形：

2.熟练掌握有关运算的算理、方法、步骤

模仿操作阶段，运算步骤不宜跳跃，每一步运算的算理必须明确、清晰，算法和运算过程的表述必须规范、条理，经过一定量的、有层次的、按部就班的训练后，逐渐简化运算步骤，灵活运用运算法则、公式.在运算求解过程中，同学们要能够自觉地认识运算的目的性，准确判断运算方向，合理选择运算途径，规范表述运算过程和结果，从而由懂到会，由会到对，由对到熟，由熟到变，由变到通，避免“会而不对，对而不全”的运算错误.

3.理解数学思想，掌握通性通法

在熟练掌握运算求解的算理、算法及运算技能的基础上，弄清其隐含的数学思想方法，并以数学思想方法促进运算技能向能力过渡.一方面，合理使用数学思想方法可以简化运算，提高速度，如数形结合可以借助图形直观简化运算量，等价转化可以将复杂的运算转化为简单的运算，分类、整合可以化整为零、分解难点、优化策略；另一方面，数学思想方法是使基本运算技能内化为思维能力的纽带，在具体运算求解过程中还要注重充分运用通性通法——同类问题的一般方法.

4.加强审题训练，发现运算目标

同学们在审题时要深入理解、细致分析问题的条件、结论以及条件与结论间的联系，尤其是如何发现问题中的隐含条件，要确立结论就是解题目标，不忘解题目标的意识，及早确定运算目标，并在运算求解过程中根据目标及时调整运算方向.

5.重视验算反思，提升运算能力

在解题过程中，要学会验算、减少失误，可采用以下方法：

复考查对——草稿纸上每算一题画上边框，便于检验.

代值检验——选取边界值和特殊值驗算.

多解对照——通法求解巧法对照.

逆向运算——顺向解答逆向回代.

观测估算——离心率的范围、三角函数有界性.

量纲检查——长度是一次函数、面积是二次函数、体积是三次函数.

特值检验——例如直线斜率不存在时，等比数列公比为1时.

条件检验——条件是否用足，尤其是隐含条件是否发现并运用.

逻辑检验——运算复杂的问题通过逻辑推理可能轻松解决.

图形检验——代数方法几何检验.

解题后检验发现问题必须不断纠错、订正到位，订正可分为老师评讲前自我纠正、老师评讲中对比订正、老师评讲后二次订正，解题后更要总结反思：此题运用了哪些知识和方法，题中有哪些条件，尤其是否存在隐含条件，本题的算理是否清晰，算法是否简捷，运算过程是否跳步，还有更好的解法吗？失分的原因到底是什么？

6.重视简化运算，提高求解能力

运算求解能力是其他数学能力的基础，简化运算是提高求解能力的重要环节.

（1）熟记一些常见的运算结论和推理结果有利于寻找解题思路，简化运算过程，提高运算结果的准确性，如四面体的体积公式，常见勾股数，20以内的自然数的平方，圆锥曲线的焦半径公式，圆锥曲线的第二、第三定义，和差化积与积化和差公式等.

（2）在解析几何解题运算中，正确运用简化运算的基本方法，如：恰当建系、巧妙设元、回归定义、设而不求、数形结合、整体代换、数式化简、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直觉判断、合情推理……

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁·k₂的取值范围.

分析 本题中求解斜率k₁，k₂的表达式是关键，用参数表示斜率通常有以下几种方法：

其中方法①～③均需解出P点坐标，因而运算量较大，在方法④中，可通过设而不求、边化简边运算、数形结合等方法简化运算.endprint