几类非线性压缩映射的不动点定理

(山西大学商务学院 基础部,山西 太原 030031)

1 预备知识

泛函分析——近代数学较新的一门数学分支,以其在微积分方程、动力系统、工程力学等各个领域应用的广泛性,在近代数学中占有非常凸出的地位．其中,针对压缩性映射的不动点理论研究尤其突出．并且在Banach不动点定理的基础上,不动点理论的研究内容及方式日渐丰富,新的成果也不断呈现,应用范围不断得到拓展．究其本源,不动点研究即为讨论算子方程Ty=y的内容,判断算子方程解的存在以及唯一性．伴随着非线性微积分方程、逼近理论和随机算子理论等的不断发展,不动点理论的应用进一步得到拓展,各种类型的非线性压缩映射的不动点讨论也逐渐增多,如文献[1-10]．本文主要针对几类新型的且更一般的非线性压缩映射,讨论其相应的不动点的存在性与唯一性,同时还给出了相应的误差估计不等式,并且使得定理的应用范围得到进一步的拓展．

定义1.1[1]设X是一个非空集．X叫做度量空间,是指在X上定义了一个双变量的实值函数g(u,v),并满足条件:

(H1)g(u,v)≥0,并且g(u,v)=0当且仅当u=v;

(H2)g(u,v)=g(v,u);

(H3)g(u,w)≤g(u,v)+g(v,w)(∀u,v,w∈X)．

那么g叫做X上的一个距离;以g为距离的度量空间X记做(X,g)．

定义1.2[1]已知度量空间(X,g),点列{un}是空间上的基本列(Cauchy列),是指满足:

g(un,um)→0(n,m→∞)．

定义1.3[1]若度量空间(X,g)中所有的基本列(Cauchy列)均收敛,则称此空间是完备的．

定义1.4[1]设映射T:(X,g)→(X,g),若对∀u,v∈X,均存在0<α<1,满足不等式

g(Tu,Tv)≤αg(u,v)成立．则称映射T是一个压缩映射．

Banach不动点定理[1]若(X,g)是一个完备的度量空间,映射T:(X,g)→(X,g)是一个压缩映射,则T在空间X上存在唯一的不动点．即,存在唯一的u′∈X满足u′=Tu′．

2 主要结论

定理2.1 已知(X,g)是一个完备的度量空间,映射T:X→X满足:对∀u,v∈X,∃k∈(0,1)使得不等式g(Tu,Tv)≤kmax{g(u,Tu),g(v,Tv),g(u,v)}成立．则:

g(un,un+1)=g(Tun-1,Tun)≤kmax{g(un-1,un),g(un,un+1),g(un-1,un)}

=kmax{g(un-1,un),g(un,un+1)}

(1)

假设g(un,un+1)>g(un-1,un),由式(1)知g(un,un+1)≤kg(un,un+1),与0

g(un,un+1)≤kg(un-1,un)≤k2g(un-2,un-1)≤…≤kng(u0,u1)

(2)

对∀n,m∈z+,由定义1.1,

g(un,un+m)≤g(un,un+1)+…+g(un+m-1,un+m)

≤(kn+kn+1+…+kn+m-1)g(u0,u1)

(3)

从而知{un}是X中的Cauchy列．又由X的完备性知,设un→u*∈X．

现证u*是T在X中的不动点．事实上

0≤g(u*,Tu*)≤g(u*,un)+g(un,Tu*)

≤g(u*,un)+kmax{g(un-1,un),g(u*,Tu*),g(un-1,u*)}

≤g(u*,un)+k[g(un-1,un)+g(u*,Tu*)+g(un-1,u*)]

其次,利用反证法证明u*的唯一性．

若∃v*∈X(v*≠u*),同时满足v*=Tv*,则有

0≤g(u*,v*)=g(Tu*,Tv*)

≤kmax{g(u*,Tu*),g(v*,Tv*),g(u*,v*)}=kg(u*,v*)

由0

定理2.2 设(X,g)是一个完备的度量空间,映射T:X→X满足:对∀u,v∈X,∃k∈(0,1) 使得不等式

(A1)T有唯一不动点u*∈X;

证明 对∀u0∈X,定义序列un=Tnu0,n=0,1,2,…．则由条件不等式知

(4)

假设g(un-1,un)≤g(un,un+1),则由(4)式有

(5)

与0

g(un-1,un)>g(un,un+1).

(6)

进而得g(un,un+1)≤kg(un-1,un)

(7)

得序列{g(un,un+1)}单调递减．并满足,

g(un,un+1)≤kg(un-1,un)≤k2g(un-2,un-1)≤…≤kng(u0,u1)

(8)

(9)

即{un}是X中的Cauchy列．设un→u*,由X的完备性知u*∈X．

现证u*是T在X中的唯一不动点．

事实上,首先

进而知

g(u*,Tu*)+g(u*,un)+g(un-1,u*)+g(u*,Tu*)]}

整理并结合(8)式有

(10)

令n→+∞,由0

故u*=Tu*．其次,证明u*的唯一性．

若∃v*(≠u*)∈X满足v*=Tv*,有

整理得 0≤g(u*,v*)≤kg(u*,v*),与0

针对(9)式,令m→+∞可得结论(A3)．证毕．

注 定理1.1,1.2与主要参考文献[2]中的主要定理2相比,本文定理中到自身的映射T并不要求其满足连续性;另外,本文对算子T的压缩映射条件较文献[2]的压缩条件d(Tx,Ty)≤f(ρ(x,y))ρ(x,Tx)+g(ρ(x,y))ρ(y,Ty)+h(ρ(x,y))ρ(x,y)(其中,f(t)、g(t)、h(t)单调递减可微,并满足f(t)+g(t)+h(t)<1)相比较,条件更简单,更便于应用．同时还给出了对应误差估计不等式．

推论 设(X,g)是一个完备的度量空间．若存在非负二元函数a,b,c满足不等式sup{a(u,v)+2b(u,v)+2c(u,v)}≤k<1．设映射T:X→X,对∀u,v∈X,∃k∈(0,1) 满足g(Tu,Tv)≤a(u,v)g(u,v)+b(u,v)[g(u,Tu)+g(v,Tv)]+c(u,v)[g(u,Tv)+g(v,Tu)]．

则:(B1)T有唯一不动点u*∈X;

证明 对∀u,v∈X,由sup{a(u,v)+2b(u,v)+2c(u,v)}≤k<1及映射T所满足条件知

由定理2.2的条件即知本推论的结论成立．证毕．