关于材料力学类比教学方法的思考

顾云风

摘 要 通过类比的方法，总结材料力学的分析思路，统一表述轴向拉压、扭转和弯曲的应力计算的推导过程和公式形式。分析指出材料力学的强度、刚度和稳定性问题，每类问题可以进一步分成校核、截面设计和许可载荷问题，这些问题也具有统一的表述形式。

关键词 材料力学；弹性力学；分析思路；类比思维

中图分类号：G642 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2018）16-0108-03

1 引言

材料力学[1-2]是固体力学的一个分支，与弹性力学[3]相比，研究的构件局限在杆件这一相对简单的形式上，包括在载荷或温度变化作用下杆件的强度、刚度和稳定性问题。材料力学是一门重要的技术基础课，包括机械、土木、水利和交通等专业的学生都要求必须修读。虽然大部分学生在中小学就学习了牛顿力学的基本常识，但是一般直到开始学习材料力学，才开始接触力学中最重要的一些概念，比如应力和应变等。由于材料力学本身内容繁杂，概念抽象，对数学工具的应用要求较高，再加上力学课程的课时安排在很多高校中并不充裕，在实际的教学实践中发现相当多的学生对这门课的掌握并不理想。

笔者经过多年的教学实践发现，学生如果在材料力学的学习中对各部分内容孤立地学习，那么学习效率将会变得极其低下，往往会陷入大量抽象的知识点中，无法系统理解这门学科。实际上在整个力学体系中，材料力学相对而言是比较简单的。这一简单性主要体现在材料力学结构比较清晰，如果采用类比思维，将前后内容对照，会发现很多问题的概念、分析思路和公式等都是相似的。从这一角度出发，可以让学生从一个更高的视角俯视材料力学课程。这就如一个人陷在迷宫中会无法自拔，迷失方向；如果能看到迷宫的全局，那么就会豁然开朗。这就是让学生把书越读越薄的方法。本文从材料力学分析思路和概念、问题类型以及公式等角度，详细类比说明材料力学分析的框架结构。

2 分析思路和概念的类比

材料力学引进了许多新的力学概念，如外力、内力、应力、变形和应变[1-2]。不同于弹性力学，材料力学处理的构件局限在杆件这种一维结构。如同生物体，给予刺激就会有反应。外力相当于对杆件的刺激，其他的物理量则代表相应的反应，它们的关系如图1所示。在材料力学中，外力包括主动载荷和约束力，往往是首先需要分析的。不同的外力对应不同的基本变形，例如：作用线与轴线重合的力引起轴向拉压变形；作用面与杆件横截面重合的力偶引起扭转。外力的分析需要掌握理论力学静力学的相关内容，并且将分析结果分解成各个基本变形对应的外力。

外力分析完后，根据基本变形类型，都有相应的内力、应力、变形和应变。如图1所示，第一个需要分析的就是内力。轴向拉压、扭转和弯曲的内力分别是轴力、扭矩和弯矩加剪力。这里弯曲稍有特殊，它往往有两个内力。内力都有约定的正方向，建议用截面法分析的时候，受力图中的内力一律往正方向画。这样做的好处显而易见：如果假设内力方向正确，内力符号就是正的；如果假设内力方向有误，正好内力符号是负的，这就避免了纠缠于内力正负号问题，让截面法平衡方程自然得出结果。各个内力都有相应的内力图，集中载荷、分布载荷对应的内力图特征都是相似的，比如轴向外力、集中扭转外力偶、集中弯曲力偶和横向力分别会使轴力图、扭矩图、弯矩图和剪力图不连续，突变大小等于相应集中外载荷。

图1显示内力的获得是对各种基本变形进一步分析的基础。如果是强度分析，则需要计算应力。不同于弹性力学基于几个基本假设利用严密的逻辑推导计算公式，材料力学往往借助于简化分析。在轴向拉压、扭转和弯曲中最重要的一个假设就是平截面假设。这一假设顾名思义，表示横截面在杆件变形过程中始终保持为平面。不同的是：在轴线拉压中横截面保持平面，只是距离发生变化，横截面上各处沿轴向的變形均匀分布；在扭转中横截面保持为平面且绕轴线发生相对转动，变形大小与到圆心的距离成正比；在纯弯曲中横截面保持为平面且绕中性轴发生相对转动，两横截面之间的纵向纤维的长度变化沿梁的高度线性变化。

基于平截面假设获得的变形分布规律，进而借助于材料均匀性假设，由物理关系可以知道应力的分布规律，最终由静力平衡关系得到应力计算公式。上述各个基本变形的应力推导思路是相似的，最终得到的应力计算公式也具有惊人的相似性，都可以表示为：应力=（横截面上内力/横截面几何参数）×应力分布参数。公式中各个基本变形所用的量见表1。横截面内力在轴向拉压、扭转和弯曲中分别是轴力、扭矩和弯矩；横截面几何参数则分别是横截面面积、极惯性矩和轴惯性矩；应力分布参数分别是“1”、到圆心的距离和到中性轴的距离，分别代表应力的均匀分布、与到圆心的距离成正比和沿梁的高度线性变化。

如果是刚度分析，那么图1所示可以根据内力计算变形。这里以等内力等截面为例，变形=横截面内力×杆件长度/（材料参数×横截面几何性质）。如表1所示，对于轴向拉压，变形是杆的长度变化，内力是轴力，材料参数是弹性模量，横截面几何性质则仍然是横截面面积。对于扭转，这些参数则分别是相对扭转角、扭矩、切变模量和横截面极惯性矩。弯曲变形相对复杂，变形的度量用挠度和转角表示，载荷种类多，可以是弯曲力偶、横向集中力和分布载荷。不过，如果考虑等截面梁两端加弯曲力偶的纯弯曲，转角=弯矩×杆件长度/（弹性模量×相对于中性轴的惯性矩）。

3 问题类型的类比

材料力学主要解决三类问题：强度问题、刚度问题和稳定性问题[1-2]。强度是指杆件在外载荷作用下抵抗断裂和过量塑性变形的能力。刚度是指杆件在外载荷作用下抵抗弹性变形的能力。稳定性在材料力学中范围比弹性力学中的窄了很多，特指杆件在轴向压力作用下保持其原有平衡状态的能力。这三类问题反映了固体构件在外载荷作用下力学性能的三个不同的侧面。这三类问题的计算公式大部分情况下可以统一表示为：横截面内力/包含横截面几何性质的参数≤许可量。

根据这一表达式，每一类问题进一步可以细分为校核、截面设计、许可载荷问题。校核问题就是验证这一不等式是否成立，如果成立则表示相关问题类型安全，否则判定为不安全。这类问题的计算关键往往是确定危险截面的内力。截面设计问题则是根据这一不等式确定包含横截面几何性质的参数的最小值，进而给出截面尺寸的设计意见。许可载荷问题是利用该不等式算出横截面内力的最大值，进而根据内力与外力的关系给出构件外载荷值的安全范围。

公式中的横截面内力、包含横截面几何性质的参数和许可量，在轴向拉压的强度问题中分别是轴力、横截面面积和许可正应力；在扭转的强度问题中则分别是扭矩、抗扭截面模量和许可切应力；在弯曲正应力强度问题中分别是弯矩、抗弯截面模量和许可弯曲正应力。在连接件的强度计算中，在挤压问题中公式可以表述为：挤压力/挤压面面积≤许可挤压应力。而剪切强度问题中则为：剪切力/剪切面面积≤许可切应力。

在考虑扭转的刚度问题时，公式中的横截面内力、包含横截面几何性质的参数和许可量分别是扭矩、截面抗扭刚度和许可单位扭转角，其中抗扭刚度=切边模量×极惯性矩。在刚度问题中由于考虑弹性变形，相应的公式中往往有像切变模量之类的材料弹性常数。在截面设计时，通过抗扭刚度中的极惯性矩可以算出圆轴直径。

材料力学中的稳定性问题主要局限在压杆稳定性问题。在这部分内容中，大部分篇幅是关于临界压力和临界应力的计算方面。临界应力计算的前提是通过压杆的柔度对杆件分类。柔度是一根压杆的固有性质，综合反映了压杆的横截面尺寸和长度以及杆端约束对压杆稳定性的影响，一般情况下柔度越大，压杆的稳定性越差。根据柔度，压杆可以分为小柔度杆、中柔度杆和大柔度杆。不同种类杆之间的柔度分界取决于材料参数，比如大柔度压杆的柔度下限取决于弹性模量和比例极限。小柔度压杆的临界应力就是屈服极限，这是材料的一个强度指标。从这个角度看，压杆的临界应力和屈服极限都是极限应力。前者主要通过比如理想中心受压直杆的欧拉公式等计算获得，后者则主要由轴向拉伸实验得到。

在强度问题中，许可应力=极限应力/强度安全系数；同样，在稳定性问题中，可以定义稳定许可应力=临界应力/稳定安全系数。由此，强度计算和稳定计算有了統一的形式：轴向压力/横截面面积≤许可应力。

4 结语

本文将材料力学从整个学科出发，对不同部分进行类比说明，试图给出一个新的角度理清材料力学的学习思路。学习材料力学不能孤立地学习零星的知识点，而是应该前后对照，将各部分内容有机地连为一体。首先，各个基本变形的分析都遵循由外力出发，然后计算内力，最后分为强度问题或刚度问题。轴向拉压、扭转和弯曲的应力计算公式都是基于平截面假设推导得到的，最终可以用一个统一的公式表示应力计算公式。同样，刚度分析也可以获得一个统一的表达式。材料力学分强度、刚度和稳定性问题，每一种问题可以进一步分成校核、截面设计和许可载荷三种题型。这些问题也具有统一的表述形式。教学实践表明，通过类比的方法，把各处的知识点表述成统一的形式，可以有效地帮助学生深入理解材料力学的基本概念。

参考文献

[1]刘鸿文.材料力学[M].5版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]孙训方.材料力学[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[3]杨桂通.弹性力学简明教程[M].2版.北京：清华大学出版社，2013：1-3.