回归起点，深层建构——对乘法分配律教学的思考

江苏太仓市城厢镇第四小学 王 芳

乘法分配律是一种重要的数学模型，是小学阶段学生最难理解和掌握的运算定律。在教学时，教师往往会忽略学生已有的知识经验、知识生长点，只让学生根据几个等式去发现规律性的内容，概括出乘法分配律。就算让学生把各个等式都一一验证过，仍有较多学生感到乘法分配律是突然的、抽象的，无比困惑。其结果是：乘法分配律的的确确是很快得出来了，学生也好像有点感悟了，但时间稍长，这种似懂非懂的理解必定会被学生忘得一干二净！因此，在乘法分配律的教学中，教师要回到知识经验的起点，注意发掘学生已有的知识经验，对新学知识进行深层次的建构，这样才能较为有效地突破教学重难点，达到预期的教学目标。笔者以苏教版教材中的乘法分配律素材为例，从以下几个方面谈谈拙见。

一、深化乘法分配律的理解

乘法的意义是乘法分配律知识的起点，其本质是对几个相同加数的分与合。字母表达式（a+b）×c=a×c+b×c的顺向意义是：（a+b）个c的和分为a个c与b个c的和；逆向意义是：a个c与b个c的和合为（a+b）个c的和。在新授时，要尽量将乘法分配律的教学和乘法的意义结合起来。当学生根据例题的情境，从解决问题的角度得到“(65+45)×5=65×5+45×5”后，可以引导他们从乘法的意义进一步理解：等号左边表示有(65+45)个5的和，即110个5的和，与等号右边的“65个5的和加上45个5的和”相等。这样，学生很容易领会等号两边不仅意义相同，数据也符合一定的特征。在此基础上让学生仿写类似的等式，在模仿中找规律，为归纳模型积累充分的表象。以乘法意义为起点，学生既在形式上把握乘法分配律的特点，又深层次理解等式本质意义；在基于乘法意义经验上的仿写，更是为从具体情境的等式过渡到纯粹的等式做准备。学生在简算题当中，可以直接利用乘法意义来理解算式的含义。

在实际教学时，由于学生对分配律内涵理解不够深入，容易在解题时出现各种各样的错误。比较典型的有以下几类：

【错例1】未凑“整百”：没能把如99×74+74、101×74-74的算式转化为100×74，孤立隐藏因数 “1个74”。

【错例2】错凑“整百”：把99×74算成了（99+1）×74，把102×74算成了100×764+2，盲目凑整。

【错例3】乘法分配律和乘法结合律混淆：把（7+25）×4当成7×（25×4），对两个定律意义和形式未能辨析。

……

针对学生出现的常见错例，在实际教学时，无论从（a+b）×c到a×c+b×c的分解，还是从a×c+b×c到（a+b）×c的合并，只要注重从乘法意义来理解算式，以上这些问题就不难解决。如99×74+74，用乘法的意义来理解是很简单的，它表示99个74与1个74的和，即100个74的和；102×74表示102个74的和，等于100个74的和与2个74的和合起来，即100×74+2×74。以学生熟知的乘法意义知识经验为起点，学生才能真正“知其所以然”。

二、拓展乘法分配律的内涵

当学生对乘法分配律有了初步认识之后，可以引导学生思考：原来学过的知识中哪些方面也接触过乘法分配律？教师的启发，激发了学生提取已学的知识和经验并加以整理：

1.笔算乘法的情形

如笔算24×12，竖式计算的过程可以视为24×（2+10）=24×2+24×10。

2.口算乘法的情形

口算过程为：4元5角×5=（4元+5角）×5=4元×5+5角×5。

3.“合作类”问题的情形

如“李阿姨和王阿姨共同编织一批中国结，28天正好编完。李阿姨平均每天编45个，王阿姨平均每天编55个，这批中国结一共有多少个？”

算式：45×28+55×28或（45+55）×28。

4.长方形周长的情形

周长为：（4+6）×2或4×2+6×2。

……

通过回顾整理，学生的视野由眼前延伸到过去，由单纯的运算延伸到生活经验，大大拓展了乘法分配律的内涵。同时，在回顾整理过程中，学生“温故而知新”，有一种“柳暗花明”的新奇感，无疑有利于激发他们学习数学的兴趣。

另外，在整理过程中要注意把握两点：

第一点，在解决问题的情境中，要用具体情境来理解算式的意义，通过突出两道算式的特征来体现分配律的特点。

第二点，要引导学生观察比较两种算法，体现算法的多样化及优化作用，有效提升学生灵活运用的能力。

三、敏感乘法分配律的数据

运用乘法分配律进行简算时，影响学生解题效率的因素，除了学生对运算规律的理解程度以外，还有学生对一些常用口算题的熟悉程度。部分学生在计算如25×44这类题目时，感到无从下手，一个很重要的原因是他们对“25×4=100”这个基本算式不熟悉。因此，提高学生运算效率的一个途径是要通过适当的练习，来提高他们对一些常用口算题的熟练程度。如在课前复习环节，可让学生口算这些题目：25×4=（100）、125×8=（1000）、99+1=（100）、201-

1=（200）、98=100-(2)，等等。

这些口算题有如大厦地基底下的一颗颗“小石头”，表面看来很微不足道，但对于部分学困生而言，熟悉这些算式，能增强他们对特殊数据组的敏感度，有助于提高他们的运算效率。

四、整合乘法分配律的结构

学完乘法分配律之后，有必要将已学的乘法结合律以及四则混合运算等有关知识与新学知识进行整合，形成更完善的知识结构。

1．乘法分配律与乘法结合律的整合

根据算式数据的特点，有些计算既可以运用乘法结合律来简算，又可以运用乘法分配律进行简算，此时有必要对两种算法进行比较、综合，以增强学生对算法多样性的体验和认识，提升他们的运算能力。例如计算25×44，有如下两种较为简便的算法：

算法一（乘法结合律） 算法二（乘法分配律）

引导学生进行观察、比较，理解两种算法运用不同运算律的过程和特点，养成根据题目数据特点灵活选择适当算法的习惯，进一步培养学生的数感。在比较选择中，也进一步帮助学生加深了对乘法分配律和乘法结合律结构的区别，有助于建构两个运算律的数学模型。

2．乘法分配律与四则混合运算的整合

运用乘法分配律计算的算式属于“四则运算”的范畴，我们把有关乘法分配律简算题纳入四则混合运算框架中，就会产生一些新的“联系”。其中最突出的问题是：对形如“（a+b）×c”和“a×c+b×c”的算式，都可以简算吗？因为乘法分配律所属的单元是“运算律”，教学时简算是紧密结合的，在学生所能接触的练习题中，几乎都是能运用乘法分配律进行简算的情形，难以看到“不能简算”的算式。在这样的学习背景下，很容易让学生产生思维或意识上的偏执，即凡是像形如“（a+b）×c”或“a×c+b×c”的算式都可以简算。那么，如何破除这种思维偏执呢？可通过具体“题组对比练习”的方式，来完成对两个知识点的整合。如设计以下练习：

两组的四小题形式上都具备了顺用或逆用乘法分配律进行计算的特点。学生独立计算时，第1组两题能准确运用乘法分配律简算，但在计算第2组的两小题时出现不同的算法：一种是运用乘法分配律计算，另一种是直接根据四则运算的一般计算顺序来算。展示25×（25+15）的两种方法并进行横向比较，发现25×（25+15）=25×25+25×15，并不能凑整简算，而按照四则混合运算顺序计算25×（25+15）=25×40，在第二步可以拆数后利用乘法结合律进行简算。对97×7+3×3的计算与第（1）组的97×7+7×3进行纵向比较，发现两题的第二个乘法算式不同，97个7和3个3不能凑整。在比较后可以明确：计算时，要根据算式的特点判断哪些算式可以简算，哪些不可以简算；不能简算的算式，按照四则运算顺序进行计算。同时，对乘法分配律在四则运算范围内的运用有了更进一步的认识，也有助于学生养成根据数据和结构特点灵活选择合理算法的习惯。

乘法分配律是一个应用最广泛、最核心的运算律，其形式的复杂性和内涵的丰富性决定了我们在教学中要“以退为进”，回归知识经验的起点，让学生真正掌握乘法分配律的本质内涵，自主完成知识的深层建构。♪