数学的认知方式

摘 要：认知就是人认识外界事物的过程。认知的基本方式是模式识别。数学的认知方式也是模式识别。抽象、类比、迁移、化归都是模式识别的基本方法。模式识别包括简化、修正、应用三个环节。

关键词：认知；模型；模式；模式识别

所谓认知就是人认识外界事物的过程。认知包括感知和思维，其基本要素是认知方式、认知水平（认知能力）。认知不只是心理学的一个概念，也是近年来取得突破性进展的认知神经科学的重要概念。

学习不只是掌握知识，更重要的是提高认知水平。无论是必备品格还是关键能力，都离不开认知。2017年9月中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于深化教育体制机制改革的意见》明确提出了要强化四种关键能力的培养，第一种关键能力就是认知能力。研究认知既是教学的需要，也是当前研究核心素养的需要，更是应对未来的需要。

一、数学的认知与模式识别

人类在漫长的进化过程中，从未离开认识世界和改造世界的实践活动。在这个过程中，除了身体的进化，还有大脑的进化。在大脑的进化中，一个重要的也是关键的事情是人类在思考面对同一类事物能否有一个普遍的方法来解决。在这样的一种思考过程中，包含了两个层面：一是如何识别哪些事物是属于同一类；二是如何找到普遍的方法。

（一）如何确定一些事物是否属于同一类

确定某些事物是否属于同一类，方法是抓住事物的本质特征。这在认知心理学上叫做抽象。

实践中并没有1，只有1个苹果，或1个铅球等等。1是抽象的结果。因为抽象，所以有了数的运算，进而解决实际问题。

铅笔和橡皮从作用上来讲都是用于文化学习，所以，人们用一个新概念——文具来把它们归为一类。苹果和葡萄人们用一个新概念——水果来把它们归为一类。那么铅笔和苹果是一类吗？有一天，快递小哥给你打电话告诉你有你的两件货（运用了加法1+1=2）。你收到两个纸箱，里面分别装着苹果和铅笔。这时，快递小哥用了一个新概念——百货，把苹果和铅笔归为一类。此时，快递小哥抓住了两件事物的共同特征：没有生命的生活用品。

再比如角和线段，表面上看起来不是一类，但是如果抽象地看，它们属于同一类，都是轴对称图形，有许多共同的性质。比如角的平分线与线段的垂直平分线对应，都把图形分为两个全等的部分。

（二）对于同一类事物，如何找到解决问题的普遍方法

当我们认定几样事物属于同一类，就可以用已经熟悉的解决该类事物的方法来解决此一类事物的问题。这在认知心理学上叫做迁移。

在学完三角形的全等这一章后，学生就已经积累了一些关于证明线段相等的经验，当进一步学习四边形时，学生就可以运用这些证明线段相等的经验解决四边形中的问题。

再比如，学生学习了一次函数，老师要帮助学生总结出课本研究一次函数的模式（人教社叫做基本套路），学生用这个研究模式就可以自己去研究二次函数和反比例函数。

总之，无论第一个层面还是第二个层面，共同之处就是识别某事物或某类事物的本质特征。人脑在认知事物时，抓住了该事物的本质特征——模式，这个过程叫做模式识别。

二、数学的模型、模式与模式识别

世界很复杂，因此需要简化，这是人类认知的基本规律，也是人类赖以生存的基本能力。因为需要简化，因此产生了模型与模式。

模型（Pattern）与模式（Model），在英文里是两个词，但是在实际使用过程中，却很难区别。广义地讲，组成一个事物的要素，构成了这个事物的基本特征。这特征决定了该事物与别的事物的联系与区别，这特征就叫做这个事物的模式。模式一词所涉及的范围很广，它揭示了事物之间隐藏的规律关系。而这些事物可以是具体的，也可以是抽象的，比如思维模式。

模型是对客观现实的事物的某些特征与内在联系所作的一种模拟或抽象。为了研究一个过程或事物，可以通过在某些特征（形状或结构等）方面与它相似的“模型”来描述或表示。模型可以是所研究对象的实物模型，例如建筑模型、教学模型、玩具等，也可以是对象的数学模型，例如公式或图形等。它能反映出有关因素之间的关系。

通过比较模型与模式的定义可以看出，虽然在有些情况下，模型也指所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，这与模式其实没有实质区别。但一般认为模型是有实际背景的，强调的是现实客观事物的抽象，主要特征是“型”；而模式是解决一类事物的通用的方法，强调的是一类事物的抽象，这类事物可以是现实中存在的，也可以是已经抽象了的，主要特征是“式”，是方式、方法。比如，原子核结构模型、数字模型等都是模型，而电视机或电脑的16∶9显示模式、百度云存储模式、企业的管理模式、课堂教学模式、计划生育模式、电讯收费模式、市场模式等等都是模式。也可以认为模式是更加抽象的模型。

模型與模式并不是专为数学而产生的，而是基于现实生活的。德国物理学家焦耳用一个公式描绘了热和功之间的转换关系，在研究热的本质时，发现了并由此得到了能量守恒定律，最终总结出热力学第一定律。英国物理学家、数学家麦克斯韦用四元方程组准确地描绘出电磁场的特性及其相互作用的关系，在任何情况下都可以应用，最终得出光本身是由电磁波构成的这一正确结论。英国物理学家牛顿用自己发现的万有引力定律来建构行星运动的轨迹模型，把天上的行星和它们的卫星运动规律，同地上重力下坠的现象统一起来，实现了天上人间的统一。伽利略用公式描述了自由落体运动的物体的规律。美国科学家用公式刻画了大脑运作基本算法。这些都是模式识别的例子。

构建模型是为了解释现实，数学模型是用数学的语言讲述的现实世界的故事。尽管数学是对客观现实的抽象描述，但抽象描述的结果是人脑抽象思维的产物——模式，特别是数学的现代发展，大多数情况下不是直接面对着具体的实物进行研究，而是以模式为直接的研究对象。所以有的数学家认为，数学是关于模式和秩序的科学。

从数学的角度看，数学模式比数学模型更为一般，数学模式涉及的是一类数学问题的解决方法。张奠宙教授认为，广义地讲，数学中的各种概念和基本算法都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。

三、数学模式识别的基本过程

模式识别的基本过程可以概括为：简化——为需要认识的事物建立认知模式；修正——在识别新事物的过程中不断修正；应用——用认知模式解释事物、预测未来。

（一）简化——为需要认识的事物建立认知模式

德国天文学家、物理学家、数学家开普勒和古希腊学者们一样十分重视数学的作用，总想在自然界寻找数字的规律性。规律愈简单，从数学上看就愈好，因而在他看来就愈接近自然。他专心探求隐藏在行星中的数量关系。他深信上帝是依照完美的数学原则创造世界的，提出了行星运动的三大定律：轨道定律、面积定律、周期定律。汉代张衡则把宇宙简化为浑天仪。古希腊数学家毕达哥拉斯和中国古代数学家赵爽在不同时期发现了直角三角形三条直角边之间的关系模式，后人称作勾股定理。数学家把抛投物体的轨道简化为一条抛物线，把行星运动的轨迹简化为圆锥曲线，把蜜蜂的巢简化为六边形，把许多经济规律简化为数学公式。

（二）修正——在识别新事物的过程中不断修正

古希腊天文学家、地理学家、占星学家和光学家托勒密创立了地心说，其基本过程是：建立一个简单的元模型、利用元模型构建更复杂的模型、通过历史数据验证模型。

在数学的建模过程中，一般都要假设一个或几个参数。随着解决问题的精确度要求，可以不断地修正这些参数，使其符合要求。有时还需要修正变量之间的关系，使其更符合客观现实。

（三）应用——用认知模式解释事物、预测未来

模式的一个重要应用是预测。用航天器的飞行模式，可以计算出航天器进入轨道的时间。用宇宙间行星运动模式可以计算出小行星撞击地球的时间。用经济模型人们可以预测社会经济发展的进程。用气象规律人们可以进行天气预报。人们通过模型计算发现了海王星。也就是说海王星的发现并不是观察的结果，而是计算的结果。用初中的数学知识就可以计算出铅球从出手后经过多长时间可以落地。

四、模式识别在数学学习中的应用

（一）数学学习中的模式识别

1.模仿

许多数学学习始于模仿，模仿其实就是仿其模式。有些人仿其形，有些人仿其神，神比形更接近事物的本质。能接近事物本质者，模式识别的能力就强。能识别事物的模式时，才算是听懂了或者是看懂了。

2.创新

创新往往是建立在模仿的基础上，即人们首先通过模仿，识别了事物的模式，这时可能是初步的。通过进一步的研究识别了事物的本质特征。然后在此基础上建立一个新的模式，这就是教学创新。一题多解和多题一解都属于创新。

3.变式

数学中的所谓变式教学是指在教学中变换某事物（概念、问题或方法）的非本质属性以突出事物的本质属性的教学方法。目的在于使学生明确哪些是事物的本质属性，哪些是事物的非本质属性，从而实现对概念、方法的深刻把握。其中，事物的本质属性就是事物的模式。

4.比喻

在为学生建立数感时，往往借助比喻的方式，用已经被人们熟知的事物的模式来类比该事物的模式，这个方法就是比喻。太阳和地球的体积关系是什么，有时我们很难记住其半径的数据，这时就可以比喻：如果把太阳比作西瓜，那地球就像一粒米。

5.类比

老师引导学生类比分数的性质和运算的研究来研究分式的性质和运算；类比有理数的运算来研究实数的运算；类比三角形的性质和判定的研究来研究四边形的性质和判定。

6.化归

当我们把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这种解决问题的方法叫做化归。比如二元一次方程组通过化归转化为一元一次方程；方式方程通过化归转化为整式方程；四边形的问题通过添加辅助线转化为三角形问题解决等等，这些都是模式识别。

（二）学科教学中的模式识别

汉字本身就是模型，所以认识汉字的过程就是模式识别的过程。“文无体不立”已经是语文的基本常识了，“体”便是模式。英语中的句型也是模式。物理中的公式，化学中的方程式、分子结构，地理中的经纬，都是模式。无论是学科结构还是教学方法本质上都是模式。

数学的研究对象就是模型，而数学中研究问题的“套路”就是模式。比如函数、方程、不等式、公式、运算法则、基本图形等等都是模型。而初中阶段的代数教学：“问题情境—建立模型—模型的求解—模型的应用”就是研究代数问题的模式。“问题情境—实验操作—归纳猜想—推理验证—应用”是研究几何问题的模式。掌握这些知识和“套路”，形成数学解决问题策略的过程就是模式识别。

数学中，最重要的基本的活动经验本质上就是在长期经历数学学习活动过程中形成的一种思考问题的方式——数学思维模式。积累数学基本活动经验的过程也是模式识别的过程。

中国古代模式识别的一个重要方法是“近取诸身，远取诸物”，这在八卦、五行、阴阳等方面都有应用。比如，肢体与八卦对应，五脏与五行对应，脏腑功能与阴阳对应。这一方法可以运用到数学中。比如“负负得正”的教学，我们可以规定，自己的身体每向后转180°就相当于乘以一次-1，连续转两次180°就相当于乘以两次-1，结果正好转到原来的位置。这个过程可以归纳为“后转两次转向前，负负得正很显然”。同样道理，如果规定自己的身体向右转90°为i，那么连续转两次就是i的平方，结果正好是向后转了180°，应该是-1，所以得到i=-1，这便是复数i的现实意义。

在进行数学教学时，我们应该帮助学生理解该学科的认知模式，一旦学习者了解并适应该学科的认知模式，那么进一步深入学习也将变得更加轻松有趣，自主学习就得以实现。这便是模式识别的教学价值。

参考文献：

何思谦.数学辞海[M].山西教育出版社，2002：109.

注：山西省教育科学“十三五”课题《基于学生认知特点提升初中教学质量的实践研究》成果。

作者簡介：苏保中，中小学正高级教师、特级教师，山西省原平市实验中学。

编辑 高 琼