解析几何教学中学生问题表征障碍及对策

赵忠平

摘要：本文通过分析解析几何教学中学生问题表征的主要障碍，提出了排除学生问题表征障碍的对策.

关键词：解析几何教学；表征能力；培养方法；途径

“表征”是指信息在大脑中的记载和呈现方式，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程.喻平认为：问题表征指个体将外部信息转化为内部信息，形成问题空间，包括明确问题的给定条件、目标和允许的操作.彭聃龄认为表征问题就是分析和理解问题.数学问题表征就是读懂题目，“理解”题意，也就是用数学语言对数学问题进行正确的表示.

一、解析几何教学中学生出现问题表征主要障碍

1 解析几何概念理解不到位对问题表征能力的影响

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.正确理解并灵活运用数学概念，是正确表征问题、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围.“有研究表明，正确的问题表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解.”

2 图形观察能力不足对问题表征能力影响

解析几何首先是几何问题.一味强调解析几何中的代数运算有时会导致烦琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得简捷而优美的解法.图形观察能力是数形结合的重要部分，解析几何解决问题的对象是几何问题，在方法选择上应该注意优先考虑几何方法，其次考虑代数方法.在解析几何学习中许多同学不善于观察图形，无法从图形中得到表征问题的有效信息，从而导致解题失败.

3 代数计算和代数表征能力不足对解题能力的影响

对于解析几何中不少令人兴奋不已的运算技巧，应当通过典型问题的分析，让学生理解代数式和代数运算的运算机理，理解它的每一个公式或定理的几何意义与代数意义，要了解它成功应当具备的条件，也要了解它的局限性.理解运算技巧的本质，有利于从机理上发现相似，拓宽技巧的应用范围与深度，产生联想迁移的效果.

4 代数结果的几何含义认知不到位对解题能力的影响

在解析几何问题的解决过程之中，学生习惯于用符号表征来解決问题.学生对于几种不同形式的表征能力的发展是不均衡的.许多学生对于代数运算结果的几何意义认知不到位，导致数形无法有效结合，影响问题的进一步表征和解决.

二、在解析几何教学中排除学生问题表征障碍的对策

1通过“样例”教学培养学生表征能力

笛卡尔说：“我所解决的每一个题，都将成为一个范例，以用于其它的问题……”，因此，学生正是通过学习范例，才能体会和掌握数学问题的表征方法.教师在解析几何教学中要选择典型“样例”，通过对问题的表征“示范”，让学生体会问题表征语言的使用，表征形式的选择，以及多种表征形式之间的转换.通过“样例”教学培养学生表征能力，打开学生思维，规范学生数学语言的应用.

2通过“多元表征”教学培养学生表征能力

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，在数学教学中，对同一个概念，从不同角度、利用不同语言都可以进行表征，而且表征的结果的优劣对于解题具有直接的影响，教师在教学中要对不同的表征方法做出示范，引导学生体会不同表征方式对于解题过程的具体影响，从中选择最优表征方式方法.解析几何问题的外部表征主要有文字表征、符号表征、图形表征和操作表征.平时教学时教师要有意识地培养学生用多种方法对问题进行表征的习惯，以促进学生合理地表征问题.

例已知点P为圆x2+y2=1上的动点，点Q为直线x+y-6=0上的动点，求PQ的最大值和最小值.

本题目难度不大，教师要鼓励学生运用多种表征形式对问题进行表征.

表征1设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x21 + y21 = 1，x2+y2-6=0，则PQ=（x1-x2）2+（y1-y2）2，转化成二元函数，求函数最值.

表征2设与直线x+y-6=0平行且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x+y+λ=0，联立方程组x2+y2=1x+y+λ=0 消去y得x 的一元二次方程，由Δ=0得λ，再算两平行线间距离.

表征3设P（cosα，sinα），求P到直线x+y-6=0的距离，d=cosα+sinα-62，转化为三角函数最值问题.

表征4计算圆心（0，0）到直线x+y-6=0的距离，再加减半径.

通过对问题表征的比较，让学生认识到问题表征在问题解决中的重要性.拿到题目不要急于制定解题计划，而是要审明题意，进而表征问题.教师在教学中，要用不同方式对概念的发生、发展过程进行表征，及时培养学生数学问题的表征能力.

3创建数学交流平台，促进学生数学问题表征能力培养

数学交流是指在数学教学过程中，让学生在独立思考的基础上，学会表达、倾听、接受等交流方法，从而达到对知识的深刻理解，达成共识、共享、共进的良性循环.它是学生对思维结果和思维过程的表达，是多种解题表征方法的分享、沟通和理解，更是多种观点的分析、比较、归纳、批判和整合的互动过程.

（1）教学生学会数学阅读

数学阅读是以数学文本为内容独立开展数学学习的方式，是学生与文本的数学交流，主要是学生在已有知识经验的基础上，通过阅读自主认知数学知识的过程.通过数学阅读，可以提高学生数学问题表征能力，为良好的数学交流奠定基础.数学教师在教学中要指导学生数学阅读的方法，指导学生将重点问题表征和难点问题表征做适当的圈画和标注，需要将问题表征形式进行转换的地方，指导学生尝试用其它表征形式进行重新表征.endprint

（2）教学生学会倾听

认真听讲是每一个学生必须具备的良好习惯，听讲不仅听老师讲解，还要听同学的发言.听老师的讲解是学生学会数学问题表征的最好范本，听同学的回答交流，可以在问题表征中形成对比，提高自己数学问题表征能力.指导学生听课的同时要学会做课堂笔记，及时记录教师对例题的分析思路和表征方式，记录的方式可采用流程图、关键点提示、问题表征转换等摘要记录，以自己能理解为标准，不要记得太过详细.

（3）教学生学会数学表达

数学表达是使用数学语言进行数学问题的交流，有书面表达和口头表达等.学会数学表达是学好数学最基本的要求.但在平时的教学中，教师更注重书面表达，忽视了学生口头表达能力的培养，事实上，学生的口头表达更能快速反映学生对问题的理解，教师也才能及时发现学生在数学问题表征过程中存在的问题，也才能及时点拨、启发、引导学生修正问题表征結果.为学生提供更多的口头交流数学知识的机会，有利于学生提高学生口头表达能力，有利于提高学生心理素质，推进对数学知识的思考，激发学生的反思需要.

4利用题组教学，培养学生对“形同质异问题”和“形异质同问题”的表征能力

题组教学是解题教学的重要组织形式，通过题组教学有利于培养学生积极的思维定势，巩固学生数学基础知识、基本方法和基本技巧，也有利于通过问题条件结论的适当变化，揭示数学问题本质，提炼解题思想方法.

5.通过数学思想方法的教学，指导学生数学问题表征的方向

数学思想方法是数学问题表征的重要方向，也是数学问题表征的重要工具.在问题表征过程中，数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与划归思想等思想方法可以指引问题表征的方向，以及问题表征之后解决的途径，一些重要的数学方法如点差法、设而不求法、代入法、参数法、交轨法等在解析几何中应用广泛，对于问题的表征具有重要的导向作用.因此，在数学教学中，要及时渗透数学思想方法，形成学生稳定的解题思维能力.

6重视学生元认知能力的开发，指导学生数学问题表征过程的反思

元认知是学习策略的核心.在解析几何解题训练中，要求学生掌握“一阅读，二画图，三分析，四列式，五计算，六检验”的方法步骤，培养学生解题自我调控能力.解题后要及时总结解题经验教训，建立“错题集”，写出解题反思，学习他人的好方法，注重解题策略的改进和完善，养成自我认真总结、认真反思的好习惯.

总之，解析几何教学中教师要及时发现学生问题表征方面的出现的障碍，分析产生问题表征障碍的原因，有针对性的帮助学生突破问题表征障碍，选择正确合理的问题表征形式，有效培养学生分析解决综合问题的思维能力.只有充分暴露学生问题表征思维过程，才能有效纠正和防止问题表征错误思维过程的再现，才能强化正确的思维路径，培养学生思维的深刻性和创造性.endprint