几类特殊矩阵求逆矩阵的方法研究

陈瑞，王二民

(郑州工业应用技术学院 基础教学部，河南 郑州 451100 )

1 n阶循环矩阵[1]

1.1 n阶循环矩阵基本列

1.2 n阶循环矩阵[2]

设a0,a1,…,an-1是任意复数,称n阶矩阵

(1)

是以a0,a1,…,an-1为元素的n阶循环矩阵. 令

f(x)=a0+a1x+…+anxn-1

(2)

则

(3)

1.3 n阶循环矩阵的行列式

引理[3]设A是复数域C上的一个n阶矩阵,λ1,λ2,…,λn是A的全部特征根,f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),…,f(λn)是f(A)的全部特征根.

定理：设a0,a1,…,an-1是任意复数,则

(4)

其中ω1,ω2,…,ωn是全部次单位根,且多项式

f(x)=a0+a1x+…+anxn-1

(5)

证明：因为A=f(P)=a0E+a1P+…+an-1Pn-1((E是n阶单位阵),

所以

A=f(P)

(6)

而P的全部特征根为所有n次单位根ω1,ω2,…,ωn,根据引理可得f(P)即A的全部特征根为f(ω1),f(ω2),…,f(ωn),故

A=f(P)=f(ω1)f(ω2)…f(ωn)

(7)

1.4 n阶循环矩阵可逆的判定

最常用的n阶循环矩阵可逆的两个判定方法：

1.n阶循环矩阵

A=f(P)=a0E+a1P+…+an-1Pn-1

(8)

可逆的充要条件是A≠0,即f(ω1)f(ω2)…f(ωn)≠0,这里ω1,ω2,…,ωn是全部n次单位根.

2.n阶循环矩阵A可逆的充要条件是f(ωi)≠0(i=1,2,…,n),其中ω1,ω2,…,ωn为全部n次单位根.

1.5 n阶循环矩阵求逆矩阵的方法

在给出n阶循环矩阵逆矩阵的具体求法前，先给出如下定理：

证明：已知A=a0E+a1P+…+an-1Pn-1,假设存在B=x0E+x1P+x2P2+…+xn-1Pn-1(B为n阶循环矩阵),使得AB=BA=En(En为n阶单位矩阵),而

AB= (a0E+a1P+ … +an-1Pn-1)(x0E+x1P+x2P2+ … +xn-1Pn-1)

=(a0x0+an-1x1+…+a1xn-1)En+(a1x0+a0x1+…+a2xn-1)P

+…+(an-1x0+an-2x1+…+a0xn-1)Pn-1

=En

(9)

故

(10)

因为A,=A≠0,所以线性方程组(10)有唯一解，即A存在唯一的逆矩阵B，且B亦是n阶循环阵.根据上述定理可得求n阶循环矩阵A的逆矩阵的方法.

设A-1=x0E+x1P+x2P2+…+xn-1Pn-1,其中系数(x0,x1,x2,…,xn-1)T即线性方程组(1)存在的唯一解(b0,b1,…,bn-1)T.

3 整数环矩阵

3.1 定义[4]

设M={A:A= (ai j)M×Nai j∈Z} ,M即为整数环上矩阵.在M中定义矩阵的加法和乘法,M对这两种运算封闭.设A为整数环上的矩阵,若存在整数环上矩阵B,满足AB=BA=E(E为Z上的单位矩阵),则称矩阵A整可逆，且B=A-1.

3.2 基本性质

1.若A∈M，则A*∈M.

2.整初等矩阵的乘积仍是整初等矩阵.

3.对A施行一次行(列)整初等变换，即在A的左(右)边乘一个整初等矩阵.

(11)

即k=2时结论成立.

假设k

(12)

由于(a1,a2,...,an)=(a1,(a2,...,an)),设(a2,...,an)=d1,由归纳假设有

(13)

即k=n时结论成立.

3.3 整数环矩阵可逆的判定

1.detA=±1,矩阵A在整数环上可逆。

证明：若detA=±1,则A在实数域R上可逆,且A-1=A*,由于A∈M,故A*∈M,从而A-1∈M,即A在整数环上可逆.

2.整初等矩阵是整可逆的.

3.A可表示成P(i,j)及P(i,j(k))这一类整初等矩阵的乘积,则A可逆.

证明: 由于detP(i,j)=±1及detP(i,j(k))=±1，所以detA=±1，

故A整可逆.

4.设A是n阶(n>2)非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A*=±AT,则A整可逆.

证明：因AA*=detAE,且A*=±AT,故A(±AT)=detAE,不妨设A*=AT,则

(14)

由于ai j是实数,所以A=0,这与A非零矛盾,所以A=1,即A可逆.

3.4 整数环矩阵求逆矩阵的方法

整数环矩阵求逆矩阵的常用方法是整初等变换法,以下通过实例给出这种方法的具体过程.

(16)

故

(17)

4.复数矩阵求逆矩阵的方法

4.1 矩阵是实、虚部矩阵均可逆的复数矩阵时，逆矩阵的求法

设C是一个n阶复数矩阵,将C写成C=A+iB,其中实部矩阵A、虚部矩阵B均是n阶可逆矩阵.由于

I=(AB-1+BA-1)(AB-1+BA-1)-1=(A+iB)(B-1-iA-1)(AB-1+BA-1)-1，

(B-1-iA-1)(AB-1+BA-1)-1=(B-1-iA-1)[B(B-1AB-1+A-1)]-1

=(B-1-iA-1)(BB-1)(B-1AB-1+A-1)-1B-1

=(B-1B-iA-1B)[B(B-1AB-1+A-1)B]-1

=(I-iA-1B)(A+BA-1B)-1=(A+BA-1B)-1-iA-1B(A+BA-1B)-1

(18)

则复数矩阵的逆矩阵为C-1=(A+iB)-1=(A+BA-1B)-1-iA-1B(A+BA-1B)-1.

4.2 矩阵是实部可逆,虚部可分解成两个向量乘积的复数矩阵时，逆矩阵的求法

对复数矩阵C=A+iuvT(A是n阶可逆矩阵,u,v∈Rn),当ivTA-1u≠-1时,由于

(19)

(20)

(21)

利用(21)式可求实部矩阵是可逆矩阵,虚部矩阵可分解为2个向量乘积的复数矩阵的逆矩阵.

[1]贾璐,姚光同.有关循环矩阵的行列式计算与应用[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2005,18(2)：131-132.

[2]张爱萍.循环矩阵的性质与对角化[J].广西师范学院院报(自然科学出版社),2000,4.

[3]杨子胥.高等代数习题解下册[M].济南:山东科学技术出版社,2003.

[4]刘文斌.可逆整数阵的一种标准形及其应用[J].高等教育研究,2003,(3):40-41.