一个二次函数问题的优化

蔡依峰

今天，我遇到了这样一个二次函数问题：

已知函数f（x）=ax²-1/2x-3/4（a>o）.若在任何长度为2的闭区间上总存在两个实数x₁·x₂，/f（x₁）-f（x₂≥1/4成立，求实数以的最小值.

显然，这是个很棘手的问题，因为它难以下手.那么该从什么角度切入去研究这个问题呢？此刻，我想到了先将条件一步步地进行转化.

我做了如下思考和分析.

①任何长度为2的区间，是一个定长区间，如何表示这个区间呢？我想到的一个办法是引入变量t來表示这样的一个区间，即将这样的区间表示为[t，t+2]，其中t∈R.

②总存在两个实数x₁·x₂，使/f（x₁）f（xx_n/≥1/4成立，条件中有关键词“总”和“存在”.

那么，何时两者的“落差”最小呢？我义陷入了沉思.当我百思不得其解之时，我义想到了数形结合的方法，结合二次函数的图象再来审视这个问题.

在作图的过程中我发现，根据图象来看，二次函数的图象在某一区间上的最值的差（即上面所说的“落差”）是由二次函数的开口大小决定的.而决定二次函数开口大小的，是二次项系数“的绝对值的大小，与一次项系数和常数项无关.既然是无关的，在这里就可以对这个问题进行优化，即把函数f（x）=ax²-1/2x-3/4转化成函数f（x）=ax²，两个函数在这个问题的研究上是等价的.

有了这个发现，我心头一阵狂喜.感觉真相离我越来越接近了.再回到题目中，一旦将函数解析式简化为f（x）=ax²，对称轴就是y轴，问题就变得非常简单了.再利用数形结合的思想，让区间在f（x）=ax²的图象上动起来，不难发现，当区间[t，t+2]关于对称轴对称，即t=1时，此时函数f（x）=ax²在区间[t，t+2]上的“落差”最小，即f（1）-f（0）=a，所以a≥1$.

通过对这个问题的研究，我义得m了如下两个结论：

这是一次很独特而且很有趣的数学研究之旅，它改变了我对数学的一些认识和看法，我一直认为数学是很枯燥的，就是一些公式、定理的堆砌，没想到数学可以这么好玩.由一个二次函数问题，通过分析、思考，解决了难题的同时还得到了两个小结论，研究过程中我还多次应用了数形结合的方法.

通过这次研究之旅，我认为，在学习数学的过程中，不能仅仅满足于老师的课堂内容，更要利用老师所教的知识和方法独立地去思考和研究一些问题，只有不断地思考，不断地研究，你才能体会到数学学习的乐趣，从而学好数学.endprint