数学概念偷换不得

黄鹏程

李邦河院士说：“数学是玩概念的，而不是纯粹的技巧.”对数学概念的理解是学好数学的最为重要的一项T作，然而很多同学对此不屑一顾，往往专注于对解题技巧的积累而忽视对数学概念的学习和理解，常常因偷换概念而形成一些似是而非的认识，最终影响问题的解决.

1.对数运算

课本中给出的对数运算法则是：

当a>0且a≠1，M>O，N>O时，有log_a（MN） =log_aM+log_aN.

经常有同学给出错误的运算：

log₂（ab） =log₂a+log₂b.

产生这个错误的根源是偷换了“方程中等于”和“运算中等于”的概念.数学概念往往兼有“过程操作”与“对象结构”的二重性.数学中“等于”在概念以及数与式的运算中具有过程性，它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向，在式的恒等变形中蕴含着“往下继续算”的操作属性；而方程中的“等于”意义则不同，它没有過程性指向，只有结构意义，表示了等号两边代数式的一种关系.

因此，log₂a+log₂b=log₂（ab）是正确的运算（其中的“一”是“运算中等于”的意思），因为等号左边的两个对数式隐含了“6”均大于O，从而等号右边的ab也就大于O；反过来，log₂（ab）=log₂a+log₂b 就是错误的运算，因为等号左边的对数式只隐含了ab大于0，即a，b同号，当a，b均小于0时，显然等号右边的两个对数式便失去意义.

2.函数零点

关于函数零点，课本中给出的定义是：一般地，我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点.

因此，函数f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根.很多同学据此理解函数y=f（x）的零点个数就等于方程.f（x）=o的实根个数.这个认识其实是错误的.

产生这个错误认识的原因是偷换了“方程的解”与“方程的根”的概念.要想辩清这个概念，首先必须弄清何谓方程的根，何谓方程的解.事实上，方程的根是针对一元方程而言的，二元以上的方程只定义解，而不定义根.

对于一元方程而言，使方程f（x）一O成立的数称为方程的根，也叫方程的解.方程的根可以是相等的，比方说一元二次方程有两个相等的根（相等的根称为重根，有几个相等的根就称为几重根），但是方程的解一定是不等的，刚才说到的一元二次方程有两个相等的根只能视为一个解.所以，在实数范围内，当一元方程不出现重根时，方程的根的个数与解的个数相同，当出现重根时，重根只作一解.

结合以上实例不难看出，当一元方程f（x）=0不出现重根时，函数y=f（x）零点个数等于方程实根个数，也等于方程实数解的个数；而当一元方程f（x）=o出现n重根时，由于这n个重根只视为方程的1个解，方程的解的个数就会小于方程的根的个数，方程f（x）-o的n重根对应着函数y =f（x）的一个零点（称为n阶零点），函数零点个数少于方程实根个数，而等于方程实数解的个数.

实际上，我们把函数y=f（x）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即一元方程f（x）=0的根；究其本质而言，它是使函数y=f（x）的函数值为0时相应的白变量的取值，是一个“数”的概念.从集合的角度来看，把一元方程f（x）一0的所有根写成集合，那么相等的根自然只能记为一个（集合中的元素必须互异），这个集合就是方程的解集，其元素个数就是方程解的个数.这样，我们就不难理解：函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的解，函数的零点个数就是相应方程实数解的个数.进一步说，一元n次函数y =f（x）的零点个数应该小于或等于n个.

从以上实例可以看出，正确理解数学概念，克服不当的迁移（尤其是偷换概念）对于学好数学意义重大，希望同学们能引起足够的重视.endprint