小球重力瞬时功率取极值时相应位置的探讨

邹兆贵

(湖南省长沙市长郡滨江中学,湖南 长沙 410013)

在高中物理当中,功与能是非常重要的概念．在对功的学习当中,经常会遇到求物体瞬时功率的问题．往往涉及物体受到的某个力的瞬时功率如何变化,在何位置取极值,以及极值是多少等问题,既考查了学生对瞬时功率公式本身的掌握与应用,也考查了学生的定性、定量分析物理过程的能力,同时也为后续动能定理的学习打下扎实的基础．以下就小球重力瞬时功率如何变化及取极值时相应位置进行探讨.

1 问题

如图1，图2所示,质量为m的小球从水平位置A静止释放,小球从水平位置A运动到最低点B点的过程中,重力的瞬时功率如何变化?在何处最大?(忽略空气阻力及小球的体积)

图1 “球绳模型” 图2 “球绳模型”过程分析图

2 问题分析与解答

2.1 定性分析

设绳长为L,当小球运动到C点时,速度为vC,距离A竖直高度差为h,绳子与水平方向的夹角为θ,运动到最低点B点时,速度为vB.

由题易知vA=0，则PA=0 W,又

而PC=mgvCcosθ>0 W，

故从A到B的过程中,重力的瞬时功率从0先增大,后减小到0．

2.2 定量分析

当小球运动到C点时,由几何关系知

h=Lsinθ.

(1)

由动能定理得

(2)

解得

(3)

把(3)代入PC=mgvCcosθ得

(4)

下面通过不同的方法来求PC的最大值及对应的位置．

2.2.1 均值不等式法[1-2]

f4(θ)=sin2θcos4θ=sin2θcos2θcos2θ=

(5)

2.2.2 导数法[3-4]

则g′(θ)=cosθ(3cos2θ-2).

令g′(θ)=0得到

由数学易知

故g(θ)逐渐增大，PG逐渐增大.

故g(θ)逐渐减小，PG逐渐减小.

3 进一步探讨

如果与小球连接的物体不是绳子,而是光滑半圆槽,同时槽对小球的弹力对小球做功,此时小球重力的瞬时功率变化情况又会如何?

3.1 新问题

图3 “球槽模型”图

如图3所示，质量为M的光滑半圆槽静止置于光滑水平地面上(半圆槽不固定),一质量为m的小球位于槽内,从与圆心O等高的水平位置静止释放,求小球从静止释放到运动到槽内最低点的过程中,小球重力瞬时功率如何变化?最大值在何处?(小球的大小可以忽略)

3.2 理论分析与解答[7-8]

图4 “球槽模型”过程分析图

如图4所示．设槽的半径为R,小球与圆心O的连线与水平方向的夹角为θ时,小球速度为v1,水平速度大小为v1x,竖直速度大小为v1y,槽的水平速度为v2,小球相对于槽的速度为v3．

对M、m系统,由机械能守恒定律得

(6)

由系统水平动量守恒可得

mv1x=Mv2.

(7)

由几何关系易知

v1x+v2=v1ytanθ.

(8)

对m:

v1x2+v1y2=v12.

(9)

由系统机械能守恒定律易知,小球下滑过程中,槽对小球的弹力对小球做负功．

小球的瞬时功率为

PGm=mgv1y=

(10)

化简(10)式得

(11)

再令

A=k(k+1)+(k+1)2cot2θ.

(12)

把(12)式代入(11)式并对h(θ)求导得

令cos2θ=t,t∈[0,1]代入上式得

图5 k取不同值时，h(θ)随θ变化图像

图6 h′(θ)=0对应的cos及cos2(θ)随k变化图像

4 结束语

两种模型虽有区别,但也有共同点．通过理论分析与数值计算同时借助软件Origin绘图,直观的显示了小球重力的瞬时功率变化规律及极值位置．

值得注意的地方:当k很小时,槽相对小球质量很轻,有可能会翻转,因为涉及到转动的问题不在高考范围之内,且更为复杂,本文不再予以讨论．