六自由度工业机械臂动力学模型简化分析

晁智强，王 飞 ，2，李华莹 ，王 锋 ，张瑞凡

（1.陆军装甲兵学院，北京 100072;2.解放军66336部队，河北 高碑店 074000;3.陆军北京军事代表局，北京 100072;4.石家庄机械化步兵学院，石家庄 050085）

0 引言

通用六自由度工业机械臂（以下简称机械臂）动力学是指机械臂各关节的作用力与各关节运动之间的关系。对机械臂动力学进行分析，是了解机械臂动态特性、研究机械臂控制算法的重要前提。其中正动力学问题是指已知机械臂各个关节的驱动力矩，求各个关节的运动轨迹，包括关节位移、速度、加速度。正动力学主要用于机械臂的动态仿真。逆动力学问题是指已知机械臂各个关节的位移、速度、加速度，求得相应的关节力矩。逆动力学主要用于控制算法的研究。通常机械臂的动态方程由6个非线性微分联立方程表示。实际上，除了一些比较简单的情况外，这些方程不可能求得一般的解答。在控制中，通过简化的方式，对动态方程做出某些假设。文献［1］通过简化惯量项Dij和重力项Di对整个动力学方程进行简化。文献［2］通过数值法来简化动力学方程，着重剔除不足以影响控制效果但计算复杂的高次项。

本文运用拉格朗日方程对机械臂动力学进行分析，六自由度工业机械臂有着相当复杂的动力学方程，完整得到其表达式不现实。考虑到通用六自由度工业机械臂的结构满足pieper准则，即腕部三关节相互垂直，且实现机械臂末端姿态的调整，动力学参数较小。而前三关节实现机械臂末端位置调整，动力学参数较大，非线性效应明显，特别是二、三关节，受重力项影响较为严重。因此，本文在进行动力学分析过程中，只考虑前三关节，而把腕部的后三关节的动力学效应当做为外部干扰。这样一方面减少了计算量，另一方面对于参数辨识来说，待辨识的参数减少，获得精准的动力学模型相对容易，对基于模型的控制技术有实际意义［3］。

1 动力学分析

为使六个自由度均为旋转副的工业机械臂的连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力矩来驱动机械臂连杆和关节，以使它们能够以期望的速度和加速度运动，否则连杆将不能以需要的速度运动，并由于运动迟缓而达不到期望的位置精度。因此，必须建立决定机械臂运动的动力学关系来计算各驱动器所需驱动力。

通常使用牛顿力学等方法来确定机器人动力学方程，然而由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度的机械装置，利用牛顿力学来确定其动力学方程非常困难。本文利用拉格朗日力学进行分析。用拉格朗日力学建立系统动力学方程时只需考虑系统能量，使用起来较为容易［4］。

拉格朗日函数为：L=K-P，其中，L是拉格朗日函数，K是系统动能，P是系统势能。于是，系统的拉格朗日方程为

1.1 动能

通过对刚体三维运动的动能分析，可得多自由度机械臂的某一连杆的动能为［5］

其中Ki为某一连杆动能；ri为连杆质心所处坐标；i和p代表不同的关节编号；Uip为i连杆上某点相对于基坐标的变换矩阵仅对一个θp求导。

从而有

通过对上式进行处理，可得到伪惯量矩阵

于是

可知，式（4）可表示为

由于Ji与关节角速度无关，因此，只需计算一次即可。将式（4）代入式（2），可得到机械臂动能的最终形式：

1.2 势能

系统的势能为每个连杆的势能总和，写作：

1.3 运动学方程

对拉格朗日函数求导，可得到多自由度机械臂最终运动学方程［6］

在式（14）中，Dij为角速度惯量项，Dijk为科里奥利力和向心力项，Di为重力项。

对于通用六自由度工业机械臂，可将式（14）展开：

将机械臂相关参数代入式（15），便可得到机械臂各自由度运动方程，其可说明每项是如何影响机械臂动力学的。例如，在低速运动情况下，可以忽略方程中科里奥利力和向心力加速度相关项。在失重情况下，可以忽略重力项，惯性量主导。

1.4 前三自由度动力学方程

从式（15）可以看出六自由度的机械臂动力学方程非常复杂，通常不能求出其完整地的表达式。由于通用工业机械臂满足pieper准则［7］，即后三个关节轴相交于一点，因此，前三个关节主要完成机械臂末端位置运动，且动力学参数值（转动惯量、质量等）较大，非线性效应比较明显，后三关节主要完成机械臂末端姿态调整，动力学参数值较小。在误差允许范围内，考虑将六自由度机械臂模型简化为前三自由度机械臂模型，一方面减少了计算的复杂程度，另一方面，对于参数辨识来讲待辨识的参数减少，获得相对精准的动力学模型也更加容易。这对于基于动力模型的控制技术来讲，有一定的工程意义。

根据式（15）可得到前三关节的动力学模型。且又根据文献［4］中结论可知式（15）中，Dijk=Dikj，所以，前三关节动力学模型可表达为

2 模型简化分析

为了证明通用六自由度工业机械臂动力学模型简化为前三自由度机械臂动力学模型的可行性，在ADAMS中对其进行分析［8-10］。设六自由度工业机械臂中各个关节的输入轨迹为 qd=cos（πt）-sin（πt），所以速度为d=-πsin（πt）-πcos（πt），加速度为d=-π2cos（πt）+π2sin（πt），因此，各关节的最大速度值为当只考虑前三自由度动力学特性时，各关节输入相同的轨迹，并令后三关节固定不动。

本文以ABB公司最小通用工业机械臂IRB120为例，将其三维模型导入ADAMS进行仿真，设仿真时间t=5 s。仿真结果如图所示，其中红色实线为考虑六自由度动力学情况下的前三关节转矩输出，蓝色虚线为固定后三关节仅考虑前三关节动力学情况下前三关节转矩输出。

由图1，图2可知，前两关节基本不受后三关节动力学影响，两条曲线基本重合。由图3可知，当t=0.3 s，t=2.3 s 和 t=4.3 s，即速度最大时，第三关节受到一定影响，受到后三关节动力学影响最大。因此，将通用工业机械臂的六自由度动力学模型简化为前三自由度动力学模型后进行分析是可行的，分析结果可以看出二者动力学特性误差较小。

3 结论

本文运用拉格朗日法对通用六自由度工业机械臂的动力学方程进行了推导和分析，考虑到方程式过于复杂，因此，提出固定机械臂后三自由度，将六自由度动力学模型简化为三自由度动力学模型进行分析。通过ADAMS建立了IRB120通用六自由度工业机械臂模型并进行了仿真，结果表明：简化后与简化前相比，机械臂动力学特性不失一般性，且误差较小，进而证明了只考虑机械臂前三自由度动力学特性简化方案的可行性。

［1］蔡自兴，谢斌.机器人学［M］.北京：清华大学出版社，2000.

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