基于时间反转的MIMO雷达多目标DOA估计*

刘梦波，胡国平，周 豪，韩浩鹏

（空军工程大学防空反导学院，西安 710051）

0 引言

自 MIMO（Multi-Input Multi-Output）雷达产生以来，因其在目标检测、测向精度、覆盖范围、抗干扰能力、抗反辐射导弹能力、反隐身［1-2］等方面独特的性能优势，受到了广泛关注并取得了巨大的进展。MIMO雷达的波达方向估计通过发射相互正交的波形，在接收端利用发射信号对接收信号进行匹配滤波，从而得到拓展的虚拟矩阵，有助于提高雷达系统的估计精度和角度分辨率。文献［3］介绍了几种MIMO雷达的DOA（direction of arrival）估计算法。

时间反转（Time Reversal，TR）又称时间反演，最早来源于对光学的相位共轭法的研究。在复杂多散射环境下，TR技术［4-7］是根据静态媒质中波动方程的时间对称性和空间互易性，利用多径分量进行相干叠加，对其他杂波信号进行非相干叠加，从而获得良好的空-时聚集性能。目前，时间反转技术应用较多的领域为MIMO通信系统。

近年来，越来越多的国外学者将TR技术和雷达探测相结合，其中文献［8-11］将TR技术应用到雷达中，显示其独特的性能优势。文献［9］首次将TR MIMO雷达体制扩展到目标定位，推导出克拉美-罗界的表达式，通过仿真证明了TR MIMO雷达在强杂波环境下有更高的DOA估计精度。

相比于传统的MIMO雷达［12-13］，TR MIMO雷达应用传输波形到多径的环境中，产生一种相对简单的自适应编码方法［14］，从而改善信道的信噪比（SNR）、提高DOA估计的速率。因此，可以改善克拉美-罗界，提高DOA估计的性能［15］。但是国内对于TR技术应用于MIMO雷达DOA估计的研究相对较少［16-17］。

文献［4］将 TR技术应用于 UWB（Ultra Wideband）-MIMO雷达进行DOA和DOD估计，通过时域表达式，利用MUSIC算法进行估计，提高了在低信噪比条件下的估计精度。但是由于文章并没有给出TR MIMO雷达多目标信号模型，使得TR MIMO雷达目标定位体制的建立并不系统。

本文通过分析时间反转技术的特点，研究国外学者将时间反转技术与雷达系统结合的现状，根据MIMO雷达信号模型和DOA估计算法，建立了TR MIMO雷达信号模型和TR MIMO雷达多目标DOA估计方法。通过TR MIMO雷达接收信号进行匹配滤波得到虚拟矩阵，将虚拟矩阵矢量化进行DOA估计，扩展了虚拟孔径，提高了信号增益，从而使MIMO雷达系统在低信噪比条件下对多目标的来波方向有着较高的估计精度。理论分析和仿真实验都证明了TR MIMO雷达系统有良好的性能。

1 单基地MIMO雷达接收信号模型

为建立TR MIMO雷达接收信号模型，本文以单基地MIMO雷达为例。假设MIMO雷达的发射端阵元为M个，接收端阵元为N个，阵元间距为d（为保证角度的唯一性，d小于等于波长的一半，一般取半波长），阵列为均匀线阵。假设空间中存在K个目标，目标满足远场条件，由于发射阵列和接收阵列相距很近，所以发射波与反射波的俯仰角近似相等设为θk（k=1，2，…，K）。发射信号时M个阵元的发射矩阵为：

根据MIMO雷达波形分集的特性，则M个阵元发射的信号是一组相互正交的信号，即满足：，其中σs2为发射信号功率，而i=j时 δij等于 1，否则为 0。

则接收到的K个目标的信号分别为：

MIMO雷达接收到的信号矩阵为：

其中，βk是目标散射系数，服从均值为0，方差为1的高斯分布；为反射波的导向矢量；W（t）为N个阵元接收到的噪声矢量，设该噪声矢量是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声，且各阵元接收到的噪声互不相关。

对接收信号X（t）进行匹配滤波：

2 TR MIMO雷达接收信号模型

根据以上给出的MIMO雷达信号模型，利用时间反转的理论，进行以下操作：首先，将式（3）中接收端信号矩阵取共轭并且时间反转；随后，进行能量归一化，再次发射出去。可以得到再次发射的信号模型为εX*（-t），则TR MIMO接收端的信号矩阵为：

式中，ε为能量归一化因子，可令ε=1，（·）*表示取复共轭；其中，V（t）也是均值为 0，方差为 σ2的高斯白噪声。为累积噪声，则：

根据式（8）可知，矩阵对角线上的元素是实数可累加的，非对角线上的元素是复数可对消的。由于TR MIMO雷达的空间聚焦效果，使用对角线上的元素对系统的估计性能影响较小。因此，累计噪声能被近似为高斯白噪声。

对接收信号Y（t）进行匹配滤波：

通过对比式（4）和式（9）可以看出，TR MIMO 雷达得到的信号矩阵经过匹配滤波，可以产生N倍增益。在适当调整MIMO雷达系统的接收发射阵元数的条件下，TR MIMO雷达可以改善雷达系统的DOA估计精度。

3 基于TR的MIMO雷达DOA估计算法

3.1 DOA估计算法

为了增大MIMO雷达的虚拟孔径，根据式（4），将匹配滤波后的虚拟矩阵矢量化得：

利用式（12）可以实现MIMO雷达的多目标DOA估计。将式（12）进行特征分解，得到对应的信号子空间与噪声子空间，再利用MUSIC算法的谱函数进行搜索，即可得到多个目标的直达波方向。

类比于MIMO雷达的DOA估计算法，将TR MIMO雷达匹配滤波后的虚拟矩阵矢量化得：

其中L为对虚拟阵列Z采样的次数，即快拍数。

式（17）中，∑s是一个对角线上元素为K个最大的特征值的对角矩阵；∑n是一个对角线上的元素为剩下的MM-K个最小的特征值的对角矩阵；Us和Un分别是信号子空间和噪声子空间。

根据式（18），进行谱峰搜索得到多个目标的直达波方向。

总结基于时间反转的MIMO雷达多目标DOA估计算法的步骤如下：

步骤1 对接收信号Y（t）进行匹配滤波，计算出虚拟阵列Z，并按一定的快拍数采样；

步骤5 按照式（18），将分解后的噪声子空间利用MUSIC算法进行谱峰搜索。

3.2 算法的性能分析

3.2.1 估计精度和分辨率

通过对比式（10）和式（13）可以看出：TR MIMO雷达虚拟矩阵矢量化后，形式类似于式（10），可以产生N倍增益。表明在适当设置MIMO雷达接收发射阵元数的条件下（即M＞N），TR MIMO雷达可以提高雷达系统在低信噪比条件下的DOA估计精度。其中，为MIMO雷达的导向矢量矩阵，为TR MIMO雷达的导向矢量矩阵为MN×1维矩阵为M2×1维矩阵，说明MIMO雷达的自由度为M+N-1，TR MIMO雷达的自由度为2M-1。所以，在M＞N的条件下，TR MIMO雷达扩展了MIMO雷达的虚拟孔径，可以提高MIMO雷达的角度分辨率和DOA估计精度。

3.2.2 算法的复杂度

由于计算算法复杂度一般由计算协方差矩阵、特征值分解和谱峰搜索构成，所以本文主要从这三个方面分析。其中为M2×1维矩阵为MN×1维矩阵，所以本文算法的复杂度为，而传统的MIMO雷达DOA估计算法的复杂度为，n为总的搜索次数。在M＞N的条件下，本文算法明显具有更高的计算复杂度。

4 仿真实验

仿真实验中，快拍数L=200，MIMO雷达为均匀线阵，发射端阵元数M=8，接收端阵元数N=6，阵元间距为发射信号波长的0.5倍，且各个阵元发射相互正交的信号。设置目标数K=3，来波方向分别为θ1=-10°，θ2=20°，θ3=40°。为了分析算法的统计性能进行300次Monte Carlo仿真。

实验1：在低信噪比条件下，TR MIMO和MIMO DOA估计性能对比仿真实验。

图1为TR MIMO雷达和MIMO雷达在信噪比SNR为10dB情况下的空间谱比较，图2为TRMIMO雷达和MIMO雷达在信噪比SNR为-20 dB情况下的空间谱比较。从图1中可以看出，在SNR=10dB的条件下，TR MIMO和MIMO都可以准确地测出目标的来波方向，但是TR MIMO的谱峰更高，谱线更尖，测角性能更好。从图2中可以看出，在SNR=-20 dB的条件下，MIMO雷达和TR MIMO雷达相比，空间谱谱峰更低，误差更大。而TR MIMO仍能准确测出目标的角度，表现了TR MIMO在低信噪比条件下的性能优势。

实验2：信噪比改变条件下，TR MIMO和MIMO均方根误差对比实验。

图3为TR MIMO雷达和MIMO雷达在不同SNR条件下均方根误差的比较。从图中可以看出，TR MIMO雷达的DOA估计算法比MIMO雷达的算法有更小的均方根误差，且在SNR=-20 dB的条件下，TR MIMO仍有较小的误差。

实验3：快拍数改变条件下，TR MIMO和MIMO均方根误差对比实验。

下页图4为TR MIMO雷达和MIMO雷达在信噪比SNR=0 dB时，不同快拍次数情况下的均方根误差比较。从图中可以看出，在不同快拍数的情况下，TR MIMO雷达的DOA估计算法有更小的均方根误差。而在快拍数较小（小于50）的情况下，TR MIMO雷达的DOA估计算法受到的影响也较小，表明该算法在较低的采样数下，仍然有较高的性能。

实验4：TR MIMO雷达阵元数改变的均方误差对比实验。

图5表示在信噪比不同的条件下，改变发射接收阵元数的TR MIMO雷达的DOA估计均方根误差。从图中可以看出，随着接收阵元数的增加，均方根误差逐渐减小，表明增加接收阵元数可以提高增益，改善TR MIMO雷达DOA估计精度，提高雷达系统性能。在四组数据中，当M=10，N=8时，即增加发射阵元数，TR MIMO雷达具有最低的均方根误差，表明增大发射阵元数仍能提高TR MIMO雷达的DOA估计精度。

实验 5：设置 3 个目标分别为 22°，25°，28°时，TR MIMO和MIMO的分辨率对比实验。

图6表示TR MIMO雷达和MIMO雷达在信噪比SNR为10 dB的条件下的空间谱比较。3个目标的角度分别为 22°，25°，28°，从图中可以看出，TR MIMO雷达仍能准确地分辨出3个目标的角度，而MIMO雷达已不能分辨出目标个数，表现了TR MIMO雷达更高的角度分辨率。

5 结论

本文研究了MIMO雷达多目标DOA估计问题，提出了一种基于时间反转的MIMO雷达多目标DOA估计方法。首先，根据MIMO雷达接收信号模型，利用时间反转的理论，建立TR MIMO雷达接收信号模型。对该信号矩阵进行匹配滤波得到虚拟矩阵，并将其矢量化进行DOA估计。通过与传统MIMO雷达DOA估计方法进行对比，证明相对于传统MIMO雷达DOA估计方法，TR MIMO回波信号的增益提高了N倍。在M＞N和信噪比较低的条件下，TR MIMO雷达具有更高的DOA估计精度和分辨率，但是增大了计算复杂度。最后通过仿真实验证明了本文方法的有效性。

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