从柯西不等式的证明过程谈谈构造法

孟宪华

（陕西省渭南市渭南高级中学）

例 1：设 a1、a2、…、an都是正数，求证：对任意的正整数 n，下面的不等式成立：

分析：我们可以构造二次函数 f（x）=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（anx+1）2，显然f（x）≥0

综合二次函数的性质，我们可以得到：

即（a1+a2+…+an）2≤n·

例 2：已知 a，b，c∈R+，试比较的大小。

分析：我们可以构造二次函数

∴f（x）≥0

由二次函数的性质，我们可以得到：

4（a+b+c）2-4（）·2（a+b+c）≤0

上面的问题中，我们通过构造二次函数，利用二次函数的性质：f（x）≥0，其判别式Δ≤0，解决问题。我们考虑，如果二次函数的函数值并不都是正数时，即f（x）=0有两个不相等的实数根，能不能用这个性质来解决一些问题呢？我们看一看下面这道题。

上面的解法，利用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的联系，构造二次函数来证形如“a≤x0≤b”的不等式。为了证明a≤x0≤b 成立，构造函数 f（x）=（x-a）·（x-b）依据已知条件证明f（x）≤0，而a≤b，从而可以肯定（x0-a）·（x0-b）≤0，即a≤x0≤b。

例 4：已知 a，b，c∈R+，a+b＜2c 求证

分析：我们构造二次函数：

∵a，b，c∈R+，a+b＜2c

∴f（a）=a2-2ac+ab=a·（a+b-2c）＜0，

在高中阶段，构造辅助函数是我们经常用到的方法之一。其基本思路是通过构造适当的函数，利用所构造的函数性来证明不等式或求解问题，高中生如果能掌握这种方法，对于日常的解题有很大帮助，有利于学习成绩的快速提高。

［1］傅荣强.龙门专题（高中数学不等式）［M］.北京：龙门书局，2006.

［2］严士健，王尚志.数学（选修 4-5，不等式选冲）［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.