无网格伽辽金法解带控偏微分方程

孟虹宇 彭磊

【摘要】 本文基于高斯函数的基础上，使用截断高斯函数作为权函数，并结合最小二乘逼近法一起用在无网格伽辽金方法中去解一维带控偏微分方程.该方法可行，计算精度提高了.

【关键词】 高斯函数;无网格伽辽金法;最小二乘法

无网格伽辽金法（EFG）最早是美国西北大学的Belytschko[1]教授于1994年提出的，在之后，此方法被广泛地应用去解偏微分方程.

本文在文献[2]的基础上使用截断高斯函数作为无网格伽辽金法中的一个权函数去解一维偏微分方程，而且过程中应用了拉格朗日乘子和最小二乘法，最后通过编程实现算法.

一、截断高斯函数

ω（t）= e-αt2，0≤t≤1;0，t>1.

二、无网格伽辽金法

在无网格伽辽金法中，在有意义的域上，用uh（x）去逼近u（x），使用最小二乘法去逼近uh（x）=∑ m j=1 pj（x）aj（x）≡ P T（x） a （x）.其中，aj（x）是非常数系数，pj（x）是多项式基函数，m是基的项数.这个系数aj（x）是二次函数J（x）通过取到最小值时给出的，J（x）函数形式如J（x）=∑ n I=1 ω（r） ∑ m j=1 pj（xI）aj（x）-uI 2，其中，ω（r）是非零的权函数和n是在有定义区域节点的项数.在呈现的这个情况下，一阶多项式可以作为一个基函数 P T（x）=[1 x].

在本文中取截断高斯函数作为权函数，α作为常数且在本文中取α=3.066 625，r= ‖x-xI‖ dmi ，在有意义的区域上的第i个节点的尺度是dmi=dmax×ci，其中，dmax是一个参数，ci是两个节点之间的距离.

这里对J（x）中的aj（x）求一次导，使J（x）取到最小值时，就会有以下的关系 a （x）= A （x） B （x） u .其中 A （x）=∑ n I=1 ω（x-xI） P （xI） P T（xI），把 A （x）式代入uh（x）=∑ m j=1 pj（x）aj（x）≡ P T（x） a （x），用最小二乘法得到的近似式如uh（x）=∑ m I=1 φI（x）uI= Φ （x） u .

在线性基的情况下，形态函数φJ（x）获得的形式如下：

φj（x）=[ 1 x ] 1 | A |   ∑ N i=1 x2iω（x-xi） -∑ N i=1 xiω（x-xi）-∑ N i=1 xiω（x-xi） ∑ N i=1 ω（x-xi）    ω（x-xj）xjω（x-xj）   .

三、数值问题

在本文中，带控制的偏微分方程给出如下：Eu，xx+x=0.其中，u（x）表示位移量，E表示杨氏模量，边界条件是u（0）=0和u，x（L）=0.当使用拉格朗日乘子去实施基本的边界条件时，方程的弱形式给出如下：

∫100δ υ T，xEu，xdx-∫100δ υ Txdx-δ υ T u ，x （x=0）-δ λ T（ u -0） （x=0）-δ υ T λ  （x=0）=0.

四、数据结果精度分析

通过表1可以看出：当取Δx=0.01时，误差逐渐变小了，当取Δx=0.001时，精度最好可以达到10-3.

五、結 论

在本文中，应用MATLAB代码，其中L=10，E=1.在无网格伽辽金法中引入截断高斯函数作为权函数，结合最小二乘法，经过编程成功地获得算法，并且得到了计算的数据，数据结果表明本文的方法是很好的.

【参考文献】

[1]Belytschko T，Gu L，Lu Y Y.Fracture and crack growth by element-free Galerkin methods[J].Model.Simul.Mater.Sci.Eng.，1994（2）：519-534

[2]T SANDEEP，K KAMAL KUMAR.Use of Bspline Function in Element Free Galer Kin Method for Numerical Solution of Partial Differential Equation[J].International Journal of Computational Methods，2009：349-360.