金融数学中的若干前沿问题

杜帆

【摘 要】金融数学是近些年发展起来的边缘学科，它在两次的“华尔街”革命的基础上产生与发展，并通过现代数学理论和方法的应用对金融的理论和实践进行了数量分析。基于此，本文在对金融数学产生和发展分析基础上对其前沿问题进行进一步分析，希望可以为金融数学的更好发展提供一些借鉴。

【关键词】金融数学；前沿问题；探索研究

一、金融数学的产生与发展

20世纪初，在法国数学家巴歇里的《投机的原理》中，通过布朗运动，对股票价格进行描绘，金融数学由此而诞生。1905年，爱因斯坦做过相关研究，但未引起高度关注。1950年，萨廖尔开始全方位研究金融数学，这标志着金融数学真正进入发展期，现代金融学由此开始。

现代金融数学的发展，离不开两次华尔街革命。在第一次华尔街革命中，将静态投资组合理论研究并充分体现出来。1952年，马尔科维兹提出投资组合问题，以均值-方差模型为基础。开启了通过数理化方法，研究金融问题的大门。1964年，夏普提出CAPM资产定价模型，明确资产预期收益率影响因素中系统风险的重要影响作用。1976年，罗斯提出套利定价理论，其认为若干个资产系统风险因素影响着资产价格，不单单是市场因素。

在第二次华尔街革命中，静态决策朝着动态决策方向发展。1970年，固定汇率被浮动汇率取而代之，诞生了期货、期权等多种金融衍生工具，促进了金融工程学的产生。1973年，休斯、布莱克等人共同提出了著名的“B- S”模式。随后，MertonR.C.提出并大力推行期权定价公式。期权定价公式的产生，使期权交易在世界金融中占据重要地位，在近代金融经济学研究工作中，具有里程碑式的重要作用。

二、金融数学中的若干前沿问题

1.利率的期限结构问题

对于“B-S模型”的理论内容而言，所谓的利率不是任意确定的，而是已经规定的常数。在实际中，利率的变化是比较繁琐复杂的，债券利率的性质不同，其变化规律也就有所不同，债券利率的到期日不同，其变化规律自然而然也不同。也就是说，关于利率的期限结构方面，一般情况下可以通过收益率这种方式来进行表现。

在传统的利率结构中，主要包括：市场分割理论、流动性偏好理论、无偏预期理论以及优先置产理论这四种理论。

在近期的利率期限结构模型中，主要包括：一般均衡模型、二项式网状模型、无套利模型以及鞍模型。其中，一般均衡模型诞生于1986年，是由Cov-Ingersoll-Ross提出来的；二项式网状模型诞生于1980年，是由Ho-Lee所提出的；无套利模型诞生于1987年，是由Vasicek提出来的；鞍模型诞生于1992年，是由Heath-Jarrow-Morton提出来的。

2.市場价格的波动性问题

不仅仅是在“B- S”模型中，在大力普及的其他模型中，通常都会假定某一随机过程，例如：布朗运动等，都会导致股票价格发生波动，随后再开展相关研究与分析工作，研究与分析工作的开展也是随机进行的。然而，在大部分金融市场情形中，都难以与这些平稳的假设情况相适应，异常波动情形频频发生，例如：分别在1929年和1987年，整个股票市场都出现了崩溃情形。为了能够将股票价格的有关变化规律正确、详尽的表达出来，应当对以下几个方面的因素进行认真考量：

（1）股票价格的依赖性能，对股票价格波动率的影响；

（2）股票价格的波动率，与其余随机变量之间所存在的依赖关系；

（3）部分情形中，股票价格不会一直处于比较平稳状态，可能会出现突然跳动情形。

通过运用随机波动率模型，能够将以上这些因素充分反映出来。通常运用的方法主要包括：GRCH模型及其推广、随机波动率模型、移动平均法以及隐含波动率模型。其中，GRCH模型及其推广也被称为自回归条件异方差模型。除此之外，随机微分方程与随机最优控制这两种数学工具，虽然起步比较晚，但是在整个金融领域中，已经获得大力认可，并得到广泛普及与应用，为金融行业的发展做出了非常卓越的贡献。

3.突发事件问题

在小概率事件的范畴中，将突发事件包括进来。传统的平稳随机过程预测理论难以对一些比较重要的大型金融震荡问题进行阐述。这里所说的重要的大型金融震荡问题，包括诸多事件，比如：1987年发生的“黑色星期一”西方的金融崩溃、1997年发生的东南亚金融危机、1998年发生于美国的长期资本管理公司基金事件等等。在对股票价格的暴跌或暴涨情形做出阐述的过程中，可以对海岸线和宇宙星系模式的分形理论和混沌理论进行运用。通过分形理论与混沌理论的有关知识内容的运用，能够将股票价格的暴跌与暴涨科学合理的阐述出来。

除此之外，在诸多的金融理论中，突变理论与冲击理论也得到了广泛的普及与运用。由于金融系统包括许多方面的知识内容，并且与其他系统存在着比较紧密的联系，在金融数学的研究工作中，金融系统的复杂性仍是主要课题之一。同时，突发事件的产生屡见不鲜，并且对金融系统具有非常重要的影响。因此，在金融数学的课题中，对突发事件的研究仍然占据非常重要的位置。

4.市场的不完全性和信息不对称性

现实中的证券市场，并不是完全市场，而是属于不完全市场的范畴。也就是说，在金融证券市场中，市场中的证券与股票投资组合并不是自由、不受任何形式约束的，其离不开一些因素的限制。不完全市场的一般均衡理论是由达菲等人共同提出的。通过一般均衡理论的有关知识内容，在理论角度上，充分说明金融创新具有一定的科学性与合理性，与此同时，在社会资本资源配置效率的提升方面，做出了非常重要的贡献。鞅理论被Karatzas等人引进，在金融市场不够全面、系统的情况下，伴随着鞅理论的大力引进，使原本比较棘手的衍生证券定价问题得以顺利解决。现阶段，在国外金融理论知识内容中，以鞅方法为基础的定价理论仍然发挥着重要的主导作用，为国外金融理论的研究与发展做出了非常卓越的贡献。endprint

除此之外，在现实的市场当中，参与的经济人所掌握的信息并不是对称的，也就是说，信息具有一定的不互通性，所掌握的信息存在着不一致情况。一旦信息出现不对称的情形，经济人和经济人之间的相互对策就会出现问题，其中包括参与经济人许许多多的信息层次，将其引入到问题的解决本身存在难度，倘若运用数学处理的方法对该问题进行解决，则更是难上加难。在金融领域的研究工作中，对重复对策、多人对策、随机对策以及微分对策这些理论开展了进一步的研究，深化推动这些理论内容的发展，在未来的金融领域中，有着广阔的发展空间。

5.实证研究

当前，在我国学术研究动态中，金融学注重将企业和证券市场的具体情况作为出发点，将企业与证券市场的实证研究工作放到更加突出位置。因此，在金融学的相关实证研究工作中，尤其突出强化数据的重要作用，倘若脱离了实际数据的检验与支持功能，金融数学实证研究工作的开展只是由概念至概念的研究，亦或是只是由模型至模型的研究，即便开展了相关实证研究工作，但是在取得重要金融涵义成果方面将存在非常大的难度。在开展金融数学实证研究工作的过程中，我们应当立足于实际，在对模型进行构建时，利用实践中所取得的数据来完成，将数据中所隐藏的规律充分表现出来，并对新的金融概念进行高度概括。在对问题进行研究的过程中，应当对新的金融概念进行探索，通过对数学模型的构建，来完成对概念的表述，通过实际数据，来对有关知识内容的准确性进行检验。

三、结语

市场的发展与建设让金融数学的概念越来越呈现出重要的发展态势，其研究不仅影响着我国金融领域的发展，更影响着我国的经济建设与战略目标的制定。我们需要在金融数学领域不断学习，并不断对其前沿问题进行研究，提升自身金融数学能力，为将来有幸进入金融领域工作做好准备。

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