求解不定方程x(x +1)(x +2)(x +3) = 57y(y +1)( y + 2) ( y + 3)

杨 群

( 西南大学数学与统计学院，重庆 400715)

引 言

不定方程作为数论的一个重要分支，大约是从公元3世纪开始被研究，直到目前仍存有很多问题有待解决，其中一种特殊的形式就是形如nx( x +1) ( x +2) ( x +3) =my( y +1) ( y +2) ( y +3) 的不定方程，这类不定方程已经有将近40 年的研究历史了［1-18］，到目前为止，只那些确定系数的多项式的解被解决了，而其他的都有待被解决。1971 年，Cohn［17］证明了( m，n) = (1，2) 时，仅有正整数解( x，y) = (5，4) ; 1975 年，Ponnudurait［18］证明了( m，n) = (1，3) 时，整数解( x，y) = (2，1) ; 1991年，罗明［15］证明了( m，n) = (1，7) 的整数解只有( x，y) = (4，2) ; 1996 年，钟梅、邓谋杰［14］证明了( m，n) =(3，4) 的整数解只有( x，y) = (12，13) ; 1997 年徐学文［13］证明了( m，n) = (1，7) 没有整数解;2007 年，程瑶、马 玉 林［12］证 明 了( m，n) = (1，11) 没 有 整 数解，．．．，直到2018 年，陈琼［1］证明( m，n) = (1，33) 的整数解只有( x，y) = (9，3) 。但是，对于n 和m 的值比较大的数字还没有研究过，如当( m，n) = (1，57) 时，不定方程x( x +1) ( x +2) ( x + 3) = 57y( y + 1) ( y + 2)( y +3) 的正整数解还未知，以及更多该类不定方程都有待被研究。

先将原不定方程化为:

方程x2－57y2= －56 的全部整数解，由以下4 个类给出:

1 (2x +3) 2 = 4xn +5

将考虑(1) 式的解，即n 取何值时4xn+5 为完全平方数。

引理2 ( ±228vn+5un) 是一个非平方数。

证明 用对序列{ ±228vn+5un} 取模的方法证明。

{ ±228vn+5un} 取mod 937，可以得到两个剩余序列周期都为78;序列2t取mod 78 的剩余序列的周期为12( 除t = 0 以外) 。对k 分两种情况讨论。

令n = 2·k·3·52·11·2t( t ≥1，2 ⊥t) ，当k ≡1( mod 4) 时，令

则有表1:

表1 k ≡1(mod 4) 情况下的数

对表1 中的所有m，均有4xn+ 5 ≡4x2m+ 5 ≡228v2m+5( mod u2m) ，故:

所以4xn+5 是非平方数。

当k ≡－1( mod 4) 时，

则有表2:

表2 k ≡－1(mod 4) 情况下的数据

对表2 中的所有m，均有4xn+5 ≡－4x2m+5 ≡－228v2m+5( mod u2m) ，故:

所以4xn+5 是非平方数。

引理3若式(1) 成立，则必需n ≡0( mod 4 × 3 ×52×11)

证明对序列{4xn+5} 取模的方法证明

( 1) mod 151，排除n ≡1，3( mod 4) ，此时4xn+5 ≡35，126( mod 151) ，剩 n ≡0，2( mod 4) 。当 n ≡2( mod 4) ，即n ≡2，6( mod 8) 。mod 31，排除n ≡2，6( mod 8) ，此时4xn+ 5 ≡12，29( mod 31) ，故n ≡0( mod 4) 。

(2) mod 18301，排除n ≡4( mod 5) ，此时4xn+5 ≡14350( mod 18301) ，剩n ≡0，1，2，3( mod 5) ，即n ≡0，1，2，3，5，6，7，8( mod 10) 。mod 90901，排除n ≡2，3，7，8( mod 10) ，此时4xn+5 ≡14212，13008，76699，77903( mod 90901) ，剩n ≡0，1，5，6( mod 10) ，即n ≡0，1，5，6，10，11( mod 15) 。mod 61，排 除n ≡5，10，11( mod 15) ，此时4xn+5 ≡32，35，28( mod 61) ，剩n ≡0，1，6( mod 15) ，即n ≡0，1，5，6，10，11，15，16，20，21，25，26，30，31，35，36( mod 40) 。mod 41，排除后剩n ≡0，6，10，15，20，25，35，36( mod 40) 。mod 79，排除后剩n ≡0，15，20( mod 40) ，即n ≡0，5，10，15，20，25，30，35，40( mod 45) 。mod 541，排 除 后 剩n ≡0，5，30，35( mod 45) 。mod 33029，排除后剩n ≡0( mod 45) ，即n ≡0，5，10，15，20，25，30，35，40，45(mod 50)。mod 10099，排除后剩n ≡0，10，20，25，35，45( mod 50) ，即n ≡0，10，20( mod 25) 。当n ≡10，20( mod 25) ，即n ≡10，20，35，45，60，70，85，95( mod 100) 。mod 2699，排除后剩n ≡45，70，85，95( mod 100) ，即 n ≡ 1，2，3( mod 4) 。mod 151，排除n ≡1，3( mod 4) ，剩n ≡2( mod 4) ，即n ≡2，6( mod 8) 。mod 31，排除n ≡2，6( mod 8) 。故n ≡0( mod 5) 。

(3) mod 197，排除n ≡2，4，5，7，9，10( mod 11) ，剩n ≡0，1，3，6，8(mod11)。mod 13619，排除n ≡8(mod 11)，剩n ≡0，1，3，6( mod 11) 。当n ≡1，3，6( mod 11) ，即n ≡1，3，6，12，14，17( mod 22) 。mod 397，排除n ≡1，12，14( mod 22) ，剩n ≡3，6，17( mod 22) ，即n ≡3，6，17，25，28，39( mod 44) 。mod 1231，排除n ≡6，17，25，28( mod 44) ，剩n ≡3，39( mod 44) ，即n ≡3( mod 4) 。mod 151，排除n ≡3( mod 4) 。故n ≡0( mod 11) 。

2 (2x +3) n = 4+5

引理4若n ≡0 mod(3 ×4 ×52×11) 且n ＞0 时，式(2) 不成立。

证明n = 2·k·3·52·11·2t( t ≥1，2 ⊥t) ，运用分类讨论的数学方法及与引理3 证明过程中选取n 的方式相同，根据式(5) 、式(6) 以及引理1 可得:

故式(2) 不成立。

引理5若式(2) 成立，则必需n ≡0( mod 4 ×3 ×52×11)

证明

(1) mod 151，排除n ≡1，3( mod 4) ，剩n ≡0，2(mod 4)。当n ≡2(mod 4)，即n ≡2，6(mod 8)。mod 31，排除n ≡2，6( mod 8) ，故n ≡0( mod 4) 。

(2) mod 18301，排除n ≡1( mod 5) ，剩n ≡0，2，3，4( mod 5) ，n ≡0，2，3，4，5，7，8，9( mod 10) 。mod 90901，排除n ≡2，3，7，8( mod 10) ，剩n ≡0，4，5，9( mod 10) ，即n ≡0，4，5，9，10，14( mod 15) 。mod 61，排除n ≡4，9，14( mod 15) ，剩n ≡0，5，10( mod 15) ，即n ≡0，5，10，15，20，25，30，35( mod 40) 。mod 41，排除n ≡15，30( mod 40) ，n ≡10，25，35( mod 40) 。mod 79，排除，剩n ≡0，5，20( mod 40) ，即n ≡0，5，10，15，20，25，30，35，40( mod 45) 。mod 541，排 除n ≡10，15，20，25，30，35(mod 45)，剩n ≡0，5，40(mod 45)。mod 228061，排除n ≡5，40(mod 45)，故n ≡0(mod 45)，即n ≡0(mod 3)。

(3) 由上面可知有n ≡0( mod 45) ，故n ≡0，5，10，15，20，25，30，35，40，45( mod 50) 。mod 10099，排除n ≡10，20，35，45(mod 50)，剩n ≡0，5，15，25，30，40(mod 50)，即n ≡0，5，15( mod 25) 。当n ≡5，15( mod 25) 时，即n ≡5，15，30，40，55，65( mod 75) 。mod 149，排除n ≡5，30，40，55，65( mod 75) ，剩n ≡15( mod 75) ，即n ≡15，40，65，90( mod 100) 。mod 2699，排除n ≡15，40，90( mod 100) ，剩n ≡65( mod 100) ，即n ≡3( mod 4) 。mod 151，排除n ≡3( mod 4) 。故n ≡0( mod 25) 。

(4) mod 197，排除n ≡1，2，5，7，8，9( mod 11) ，剩n ≡0，3，4，6，10( mod 11) 。mod 13619，排除n ≡3，4，6，10( mod 11) 。故n ≡0( mod 11) 。

3 (2x +3) 2 = 4xn' +5

引理6对任意n ≥0，式(3) 都不成立。

证明mod 7，排除n ≡0，1( mod 6) ，剩n ≡2，3，4，5( mod 6) 。mod 43，排除n ≡2，3，4，5( mod 6) 。故对任意n ≥0，4xn' + 5 都是非平方数。

4 (2x + 3) 2 = 4+5

引理7对任意n ≥0，式(4) 都不成立。

证明mod 7，排除n ≡2，3( mod 6) ，剩n ≡0，1，4，5( mod 6) 。mod 43，排除n ≡0，1，4，5( mod 6) 。故对任意n ≥+5 都是非平方数。

定理1不定方程( x2+3x +1)2－57y2= －56 的全部整数解是( －1，－1) ，( －1，1) ，( －2，1) ，( －2，－1) 。

证明由引理2 和引理3 知若式(3)成立，必需n = 0，此时x = －1，－2，这给出了方程的4 组解。

定理2不定方程x( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) =57y( y +1) ( y +2) ( y +3) 无正整数解。

证明由式(2) 和定理1 知，x 只能等于－1，－2，故该不定方程无正整数解。