简单多面体与球的接切问题

王晓溪

摘 要 球与其它几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查空间想象能力和逻辑思维能力。

关键词 简单多面体;球;接切问题

中图分类号：G824.1                                                   文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2018）18-0218-01

在高一阶段应对于基础的切接问题让学生予以了解，掌握最基本的解题方法和思路。在讲解过程中，我发现学生缺少空间想象能力，在加入PPT的同时，用动画演示，帮助他们理解，印象深刻，并及时地加入练习，巩固提高，效果很好。

一、球与正方体

（一）正方体的外接球

定义：若一个多面体的各顶点都与一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。

结论2：球的内接正方体的对角线等于球直径。

例1、已知某一多面體内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______。

（二）正方体的内切球

定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

结论：内切球的直径等于正方体的棱长。

二、正四面体外接球

方法一：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。

方法二：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

例2、如图，求棱长为1的正四面体外接球的体积。

对于高一的学生，解决最基本的问题还是关键，在充分理解两道例题的基础上，加入必要的练习，加强学生的思考。

通过一节课的讲解和练习，学生基本能够理解和掌握，有信心应对类似的难题。老师在备课的时候，要特别注意问题的宽度和深度，只有适合学生水平的教学过程，才是最好的。