地球特洛伊天体稳定区域研究∗

夏睿奇 周礼勇

(1南京大学天文与空间科学学院南京210046)

(2现代天文与天体物理教育部重点实验室南京大学南京210046)

1 引言

在太阳系中,存在一类与行星共轨、在太阳-行星系的拉格朗日平衡点L4或L5附近的小天体,即特洛伊天体.第1颗特洛伊天体588 Achilles于1906年被发现,位于太阳-木星系的L4处.在外太阳系中,已经发现了超过6000颗木星特洛伊天体和17颗海王星特洛伊天体.对于类地行星,已经发现了金星的第1颗特洛伊天体2013 ND15[1]和8颗火星特洛伊天体[2].而迄今为止,唯一的地球特洛伊天体2010 TK7直到2011年才被发现[3].实际上,地球特洛伊轨道的特殊性极大地增加了其观测成本[4],因而有必要通过理论或者数值模拟的方式,尽可能准确地缩小地球特洛伊天体可能存在的空间区域.

数值方法被广泛地应用在寻找平动点附近的稳定轨道上,准确的数值结果依赖于高精度的数值积分器、足够长的积分时间和相对准确的稳定性表征参数.Lohinger等人使用Lyapunov特征指数(Lyapunov characteristic indicators)研究了双星系统中可能存在的特洛伊行星的稳定性和空间限制性三体问题中L4平动点的稳定性[5−7].Dvorak等[8]则利用天体轨道积分中达到的最大偏心率作为一种相对直接的表征参数,研究了地球特洛伊天体稳定区域,他们基于此得到了一个相对完整的地球特洛伊天体在初始(a,i)平面上的稳定性分布.除这两种指标外,对天体的轨道做频谱分析,获取其在频域上的信号、分析其稳定性则可以获取相当多轨道频率细节、展现其长期稳定性及其背后的动力学机制,这一方法被Zhou等人用于对海王星特洛伊天体的稳定性研究中[9−10].

对地球特洛伊天体稳定性的研究很早就已经开展了.Mikkola和Innanen积分从水星到土星的系统,发现地球可以拥有稳定存在超过2.25 Myr的特洛伊天体[11].Tabachnik和Evans的工作[12]发现存在两个地球特洛伊天体的稳定带,一个在低倾角(i≤16°)处,一个在中等倾角(24°≤i≤34°)处,但后者可能会随着积分时间的增长而逐渐消失.Brasser和Lehto的工作[13]发现ν3和ν4长期共振导致了地球特洛伊天体在12° ＜ i＜25°处不稳定,而在i≥40°处,特洛伊会受到和木星的古在机制[14]影响而迅速离开平动点附近.Dvorak等[8]通过积分一个包括从金星到土星的行星动力系统到106yr以上,获得了L4附近地球特洛伊天体的稳定区域分布,并发现了i＜20°和28°＜i＜40°两个稳定带,同时他们还发现ν2、ν3、ν4和ν5均与特洛伊天体的稳定性有关.

在本文中,我们使用了相对完备的动力学模型(包括了除水星外的所有太阳系行星),积分足够长的时间(107yr),通过频谱分析的方式,对地球特洛伊天体的空间稳定区域分布进行了细致的研究.本文第2节将详细介绍我们所使用的动力学模型和数值方法,第3节将展示我们所得到的地球特洛伊轨道的稳定区域,第4节分析影响地球特洛伊轨道稳定性的动力学机制,第5节则为总结与讨论.

2 动力学模型与数值方法

2.1 动力学模型

为了获取更加精准的数值结果,我们首先需要建立完备的动力学模型,然后使用精确的积分器对模型进行足够长时间的数值积分,并对获得的数据采用合适的方法进行处理.我们采用的模型包含太阳、金星、地月系、火星、木星、土星、天王星和海王星.该系统中没有加入水星,是因为水星质量较小,对地球特洛伊天体运动的影响是可以忽略不计的[8].反之,如果将水星加入,积分所需的时间将会增加到4倍以上,大幅增加了计算负担.对于地月系,我们采用了地月质心的数据,实际上,使用地月质心系和地球加月球所得到的结果并没有实质性区别[8].

地球特洛伊天体被作为试验体(质量为0)加入到该模型中,鉴于两个拉格朗日点L4和L5的动力学对称性[9],本文仅分析L4附近的情形.这些试验体的初始轨道偏心率e、升交点黄经Ω和平近点角M均设置为地球的相应轨道根数值(e=e3,Ω=Ω3,M=M3,注意此处下标3按惯例指第3颗行星,即地球,下文同此例),而初始近日点角距设置为ω=ω3+60°.这样的初值使得所有特洛伊试验体的平经度λ与地球的平经度之差(即特洛伊天体的共振角σ=λ−λ3)都为60°,保证了这些试验体初始位于L4附近.试验体的初始半长径和轨道倾角则是我们讨论的参数,按照以下方式取值.鉴于特洛伊天体稳定区域分布沿行星轨道半长径(a3=1.0 au)左右对称的特性[8−9],试验体的轨道半长径只覆盖a＜1.002 au的部分区域,在0.99 au≤a≤1.002 au范围内以间隔Δa=0.0001 au取值,而轨道倾角则在0°≤i≤60°区间内每间隔Δi=1°取值.最终我们在(a,i)平面上得到一个121×61的试验体初始轨道格子.

初始轨道根数确定后,我们使用Lie积分器[15]来积分整个动力系统,Lie积分器采用自适应步长的方式,其高效性和准确性在之前的研究[8−10]中已经得到了验证,而且其代码结构非常方便我们积分时进行在线滤波.

2.2 在线滤波与功率谱分析

为使最后得到的数值结果能够包括太阳系长期本征频率的影响,我们需要对动力系统积分足够长的时间;另一方面,为了避免丢失内太阳系行星对动力系统的作用信息,积分结果的输出时间间隔也不可以太长.因此,如果不采取其他措施,最后获得的积分结果数据量就会非常巨大,极大地增加了分析处理的难度.进一步地,因为我们希望对积分结果进行频谱分析,然后使用得到的功率谱来分析运动特征,而功率谱中短周期过多会导致其被严重污染,对后续分析造成困难.综合考虑下,我们选择积分动力系统1.2×107yr,积分器的初始输出间隔选定为16 d,并引入了一种在线滤波方法[16]滤去积分结果中的短周期项,从而保存我们关注的长周期信息,减小数据规模,方便进一步分析.

为执行在线滤波,我们在积分时,采用低通滤波器对积分结果进行实时滤波,在滤去高频短周期项后,再以相对比较大的间隔对其进行重采样.我们使用了由Michtchenko提供的滤波器(关于此滤波器的设计细节可以参考Michtchenko和Ferraz-Mello在1993年[17]和1995年[18]的工作),经过一系列仔细的测试后,在线滤波后的输出轨道根数的重采样间隔设置为32768 d(≈90 yr).因此,在经过1.2×107yr的数值积分后,最终得到了采样点数为217=131072个的轨道根数时域信号.图1展示了一个试验特洛伊天体轨道半长径时域信号滤波前后的对比.

图1 试验特洛伊天体半长径时域变化在滤波前后的对比,细线为未滤波前的时域变化,粗线为滤波后的输出结果.高频成分被移除Fig.1 Comparison between raw and filtered time variations of semi-major axis of a test Trojan.The thin curve and thick curve represent the raw and filtered data,respectively.Apparently,the high frequency components are removed

在得到了试验特洛伊天体轨道根数滤波后的时间序列后,我们对其作快速傅里叶变换,将时域信号转换到频域上.我们的最终输出间隔决定了其对应的Nyquist频率为5.573×10−3yr−1,所得到的功率谱的谱分辨率为8.502×10−8yr−1.功率谱的轮廓可以被用来判定轨道的规则性,一般来说,规则轨道往往是由有限多的周期项组成,其轨道根数的功率谱由一定数目的频率主导.与之相反,混沌轨道的轨道根数的功率谱则明显具有大量的噪声,包含了大量的宽带成分,难以分辨出主导的频率成分.图2展示了高度规则轨道、相对不规则轨道和混沌轨道半长径随时间的演化和共振角余弦cosσ的功率谱,我们可以清晰地发现3类轨道的功率谱间的不同.

图2 地球特洛伊试验体轨道半长径随时间的演化(左)和对应轨道共振角的功率谱(右);由上至下表示轨道的规则性减弱而混沌性增强Fig.2 In the left column and right column,the semi-major axis evolution of fictitious Earth Trojans and the power spectrum of the resonance angle of the corresponding orbit are illustrated,respectively.From top to bottom,the regularity of the motion decreases while the chaoticity increases

为了定量区分规则轨道与混沌轨道的功率谱,我们定义了名为谱指数的参量,即一条功率谱中高于指定噪声水平的波峰的数目.这一参量越高,说明功率谱宽带成分越多,所以规则轨道的谱指数对比于混沌轨道的谱指数相对较小.使用谱指数作为轨道稳定性判据的可靠性在Zhou等人的工作[9−10]中已经得到了验证.

3 地球特洛伊的稳定区域

经过仔细的比较,本文主要考察试验特洛伊天体共振角的余弦cosσ的功率谱.使用cosσ的谱指数作为轨道规则性的指标,本文中谱指数定义为功率谱中大于其最高峰振幅值1%的波峰数.在初始(a,i)平面上,我们计算了所有积分轨道的共振角谱指数,并将其对数值映射到轨道的初始(a,i)平面上,从而得到了初始(a,i)空间上的轨道规则性和稳定性分布,如图3.在图3中,我们排除了那些在轨道积分完成前就要离开1:1共振区的轨道(以空白标注),离开共振区的判定标准为轨道半长径在积分过程中任意时刻不满足条件0.98 au＜a＜1.02 au.此处上下两界0.98 au和1.02 au为经验值,有一定任意性,但一般而言,特洛伊天体与宿主行星的半长径之差小于1%,一旦超过这个范围,特洛伊天体即会快速离开1:1共振区.图3中,颜色越靠近蓝色,谱指数越低,代表轨道越稳定、规则;反之,越靠近红黄色,谱指数越高,代表轨道越混沌、不稳定.观测到的唯一地球特洛伊天体2010 TK7,目前的轨道根数(以星号标出)位于图3中的不稳定区域.

图3 地球特洛伊cosσ谱指数对数值在初始(a,i)平面上的分布,积分结束前离开1:1共振区的轨道以空白表示.蓝色五角星标注的是2010 TK7在该平面上的位置Fig.3Dynamical map of spectral number on the initial(a,i)plane.Blue indicates high regularity,red indicates high chaoticity while orbits escaped from the resonance are marked with white.The blue star denotes the position of 2010 TK7

显然,图3中0.998 au≤a≤1.002 au的部分,再次显示了地球特洛伊区关于a≈1 au的左右对称,鉴于这种对称性,接下来我们主要讨论a＜1 au的部分区域.图3中显示的结果,与前人的工作(参考文献[9]中的图8–10)相比,有一致的地方,也有不少不同之处.一致之处包括:两个相互不连通的稳定区,分别位于0°＜i＜20°和25°＜i＜37°的区域.占据低倾角的稳定区域,其范围随a的减小也逐渐收缩,并在a＜0.9912 au时完全消失;占据高轨道倾角的稳定区域,其在a轴上延伸的范围较窄(0.997 au＜a＜1.0 au);此外,低倾角的稳定区域中,也分布着一些明显的不稳定带:a≈0.997 au,0°＜i＜20°处;a大致介于0.995–0.996 au之间,7° ＜ i＜15°处;a=0.998 au,0° ＜ i＜6°处;以及以a=1 au处为中心,轨道倾角在15°–20°处延伸的浅“V”字形结构.

我们的结果和前人工作的不同之处首先是在i≈50°附近没有稳定区.如图3所示,在这高轨道倾角区域内,试验体轨道全部在积分结束前离开了1:1共振区.事实上,我们的结果显示,当i＞37°时,不存在任何稳定区域.其次,我们得到的稳定区域的面积相对要更小.即使是看似一致的出现在a∈[0.995au,0.996au]和a≈0.997 au处的不稳定带,我们所得到的这些不稳定区域的形状相比于文献[9]要宽阔不少,表现为低i处狭窄,高i处宽阔的形状(图3).另外,图3中相互分离的两个主要稳定区域的面积与文献[9]相比,在a和i两个方向上都较小一些.

除了通过cosσ的谱指数来考察初始(a,i)平面上地球特洛伊天体的稳定性区域外,我们还考察了积分过程中特洛伊天体偏心率和轨道倾角的变化.我们提取了所有特洛伊天体在积分过程中达到的最大偏心率emax,并将其映射到初始(a,i)平面上.我们发现:对于emax,我们的结果与文献[9]的结果相似(因而本文不再展示),大部分稳定特洛伊轨道的最大偏心率都满足emax＜0.10,轨道倾角在30°以上的稳定轨道,其偏心率稍大一些,但仍有emax＜0.12.

我们还得到了特洛伊天体积分过程中相对于初始倾角的最大倾角差Δimax=imax−i0在初始(a,i)平面上的分布,如图4.我们发现,除了极少数特定情形,能够稳定地在共振区存在的地球特洛伊天体不太会发生轨道倾角的激发,轨道倾角的变化在5°以内.即使是不稳定的轨道,发生轨道倾角激发的比例也不高,这一点在i＞20°时尤为明显.这表明如果将来观测到了新的地球特洛伊天体,其当前的轨道倾角和演化早期的轨道倾角极有可能是相当接近的.在图4中,可以看到:在a≈0.996 au附近区域,有少数轨道发生了激烈倾角激发.这一方面显示在该区域附近有可能发现轨道倾角较高的特洛伊天体,另一方面也说明该区域的稳定性空隙与轨道倾角的激发有关.进一步的研究显示:这些轨道的倾角激发是受到升交点长期共振的影响.具体分析我们将在本文下一节展示.

图4 地球特洛伊天体最大轨道倾角变化Δimax在初始(a,i)平面上的分布Fig.4 Distribution of maximal inclination variation Δimaxof Earth Trojan during integration

4 长期共振扰动分析

鉴于我们得到的cosσ谱指数分布图具有非常丰富的精细结构,本节将深入研究这些精细结构形成的动力学原因.我们知道,当一个天体的近日点进动速度˙ϖ或者升交点进动速度˙Ω与动力系统的某一本征频率相等时,就可能会发生长期共振[19].在长期共振的影响下,地球特洛伊天体的轨道偏心率或轨道倾角可能在较大范围内变化,进而失去轨道稳定性.为了分析地球特洛伊天体可能受到的长期摄动,我们检查了图3上的不同区域内的大量轨道,检查积分过程中其近日点经度与系统中各个行星的近日点经度之差ϖTrojan−ϖn以及升交点黄经差ΩTrojan−Ωn随时间的演化,直观地观察这些采样点轨道在积分过程中与各个行星的长期共振作用.以下我们将通过几条典型轨道的演化情况来对各区域中受到的不同的长期共振影响加以说明.这几条典型轨道在(a,i)平面上的位置分别为:(1)轨道I:(0.9998 au,24°);(2)轨道II:(1.0006 au,50°);(3)轨道III:(0.9972 au,12°);(4)轨道IV:(0.9952 au,14°).

4.1 轨道I

轨道I处于分隔两个大稳定区域的中间不稳定区域,24°的轨道倾角使其成为中等轨道倾角天体的典型代表.我们在图5中显示了该轨道的近日点经度ϖI与各行星的近日点经度ϖn之差(记为Δϖn=ϖI−ϖn)随时间的演化.注意此处的数字下标2,3,···,8分别表示金星、地球、···、海王星等各行星,在图5中则以“02”,“03”,···,“08”等表示,以下不再一一说明.而如果Δϖn在某一时间段内秤动,则认为发生了特洛伊天体与行星n之间的近日点进动长期共振,并按惯例记为νn,例如ν3即为特洛伊天体与地球之间发生近日点进动长期共振.同理,ΔΩn的行为可以显示升交点进动长期共振,这种共振记为ν1n,例如ν13表示特洛伊天体与地球之间的升交点进动长期共振.

图5 轨道I与各行星的近日点经度之差Δϖn=ϖI−ϖn随时间的演化Fig.5 Time evolution of perihelion longitude difference Δϖn= ϖI−ϖnbetween Orbit I and all planets

该轨道在t≈3.0 Myr时离开1:1共振区,在离开共振区之前,仔细检查图5中各Δϖn项,我们发现:Δϖ2和Δϖ3都断断续续地在特定的角度值附近表现出秤动的特性,而Δϖ4则在更长的时间跨度上、更明显地表现出秤动.与之对比,其他几个角度Δϖ5、Δϖ6、Δϖ7、Δϖ8则明显与前述角度不同,始终处于转动状态.

当Δϖn处于秤动状态时,往往就认为该小天体处于νn近日点进动长期共振中,因而图5表明轨道I受到ν2、ν3和ν4几个长期共振的影响.近日点进动长期共振主要影响小天体的轨道偏心率,促使偏心率在较大范围内变化,其变化周期与近日点经度差的秤动周期相同.为进一步检验这一点,我们在图6中显示了轨道I的偏心率随时间的演化.

在该轨道离开1:1共振之前,从图6可以看出其偏心率经历了大幅度的变化,实际上,这种变化包括了几种不同周期的成分.例如:可以看见周期分别约为0.12 Myr和0.5 Myr的两种振动,仔细比较图5中的Δϖ2和Δϖ3的行为,可以知道这两种振动成分与ν2、ν3长期共振的周期相当.除了这相对较短周期的振动之外,偏心率还受一种更长周期成分的调制:大约在t＜1.4 Myr的阶段,偏心率有总体上升的趋势,而大约在1.4 Myr＜t＜2.3 Myr的时间段内,偏心率有总体下降的趋势.对比图5中的Δϖ4的变化,则可以看到:Δϖ4在这两个时间段内分别满足Δϖ4＜180°和Δϖ4＞180°的情况.根据长期摄动理论[19],Δϖ＜180°时偏心率上升,而Δϖ＞180°时偏心率下降.图6中的偏心率的这种较长周期的摆动与图5中Δϖ4的对应关系恰恰证实了ν4长期共振的这种效果.实际上,在t＞2.3 Myr时,Δϖ4再次回到180°下方,而相应地,偏心率则再次表现出总体上升的趋势,并最终导致该轨道逃离1:1共振区.

图6 轨道I的轨道偏心率随时间的演化Fig.6 Time evolution of eccentricity of Orbit I

我们检查了(a,i)初始平面上轨道I周围的大量轨道,发现它们都具有与轨道I类似的特征,普遍受到ν2、ν3、ν4长期摄动的影响,特别是ν4的影响最为显著,说明图3中中等轨道倾角处(i约在18°到25°之间)的这个不稳定带主要是由ν4长期共振,也包括ν2和ν3长期共振的共同作用所形成的,这与文献[9]中的结论一致.

此外,我们也检查了轨道I及类似轨道的升交点经度及平经度,以检验是否有升交点长期共振或平运动共振及次级共振,结果均未发现.

4.2 轨道II

轨道II在(a,i)平面上的坐标为(1.0006 au,50°),在文献[9]中,这个高轨道倾角处是地球特洛伊可以稳定存在的岛屿,而在我们的计算中此处所有的轨道都在积分时间(1.2×107yr)内离开了1:1共振区(参见图3),实际上,轨道II在t≈2.5 Myr时偏心率已经被大大地激发,并最终离开特洛伊轨道.

如同对轨道I的处理,我们在图7中作出了相对于各行星的Δϖn随时间的变化.由图中容易分辨出特洛伊天体与地球、木星之间的长期共振ν3和ν5;与图5明显不同的是:在图7中我们还可以看到Δϖ7和Δϖ8在一定时间范围内也是秤动的,表明该特洛伊天体与天王星、海王星之间都有长期共振.我们注意到文献[9]的动力学模型中不包含天王星和海王星,ν7和ν8长期共振自然不会发生,这解释了我们的工作与该文献关于该高轨道倾角区域轨道稳定性的不同判断,两相比较,也说明该高轨道倾角区域的不稳定性的根本原因在于ν7和ν8长期共振.当然,此处多种长期共振的叠加也极大地增强了该区域轨道的不稳定性,促使该区域内所有的轨道都在我们的积分完成之前离开1:1共振区,造成图3上i＞37°区域的空白.

图7 轨道II与各行星的近日点经度之差Δϖn=ϖII−ϖn随时间的演化Fig.7 Time evolution of perihelion longitude difference Δϖn= ϖII− ϖnbetween orbit II and all planets

4.3 轨道III

轨道III(0.9972 au,12°)在图3所示的初始(a,i)平面上a≈0.997 au附近i方向上的带状不稳定区域内,该轨道在t=1 Myr前即已逃离1:1共振区.我们在图8中显示了各Δϖn的演化情况. 由图8容易看出: 当t＜0.4 Myr时,ν2、ν3、ν5、ν7甚至ν8均出现并共同存在,ν4稍后大约在t≈0.3 Myr时出现,并且和前几个长期共振一样,持续一段时间后消失.多种长期共振的交替叠加瓦解了该轨道的稳定性,实际上,在轨道III所代表的这个沿i方向延伸的带状区域内,特洛伊天体的轨道存活的时间短于轨道I、轨道II所在的不稳定区域内的轨道.

图8 轨道III与各行星的近日点经度之差Δϖn=ϖIII−ϖn随时间的演化Fig.8 Time evolution of perihelion longitude difference Δϖn= ϖIII−ϖnbetween orbit III and all planets

4.4 轨道IV

轨道IV(0.9952 au,14°)是a大致介于0.995–0.996 au的带状不稳定区域内的典型轨道,该轨道在1:1平运动共振中存活时间也很短,在t≈0.66 Myr时就离开了特洛伊轨道.分析表明:该轨道受ν2、ν3、ν4、ν5、ν7、ν8等长期共振的影响,多个长期共振往往同时出现并叠加在一起,导致轨道出现明显的混沌特征,并促使这些轨道在较短的时间内即离开1:1平运动共振区.

在图4中,我们注意到,在大多数情况下地球特洛伊天体的轨道倾角在演化过程中都只有很小的变化,只有轨道IV所在的区域中轨道倾角显示出较大的变化.因为影响轨道倾角的主要是轨道升交点长期共振,因此有理由相信在这个区域内发生了显著的轨道升交点共振.为检验这一点,在图9中,我们作出了轨道IV和各行星的轨道升交点之差随时间演化的情况.很显然,在一定的时间段内,ΔΩ4=ΩIV−Ω4表现出非常明显的秤动特征,表明特洛伊天体的升交点与火星的升交点进动之间有共振关系,即ν14升交点长期共振.我们在图10中显示了轨道IV的轨道倾角随时间的演化,可以看到,在ν14升交点共振作用下,轨道倾角在大约9°到22°之间振荡,变化幅度远超地球特洛伊区其他的天体(大多数小于5°,如图4所示).

图9 轨道IV与各行星的升交点经度之差ΔΩn=ΩIV−Ωn随时间的演化Fig.9 Time evolution of ascending node difference ΔΩn= ΩIV−Ωnbetween orbit IV and all planets

4.5 小结

我们只在图3中一些特定的不稳定区域内各选取了一个典型的特洛伊轨道展示它们所受到的长期共振的作用.需要再次强调的是:这些不稳定区域内其他的轨道也都具有与这4条典型轨道类似的行为.所以,我们可以确定形成这几个不稳定区域的主要动力学机制是前述已经指出的各种长期共振.其中,中等轨道倾角(i～24°)处隔开两个稳定岛屿的不稳定区域主要受到ν2、ν3、ν4的影响,特别是ν4长期共振起到了非常关键性的作用;高轨道倾角处(i～50°周围)的不稳定区域除了ν3、ν5外,我们还发现了明显的ν7、ν8的作用,与文献[9]的结论相比较,我们相信ν7、ν8是造成我们的结果与该既有结果不同的原因,同时也就证明了天王星和海王星通过长期共振对地球特洛伊轨道的影响不可忽略.

图10 轨道IV的轨道倾角随时间的演化Fig.10 The inclination evolution of orbit IV

在轨道III和轨道IV所在的不稳定区域,都有多个近日点长期共振的交替或叠加出现,它们是造成这两个区域的主要原因.而轨道IV所在的区域内,还明显受到了ν14升交点长期共振的影响,引起了该区域中特洛伊天体轨道倾角大范围变化(激发).

5 总结与展望

本论文中,我们通过构建完备的太阳系动力学模型,使用数值方法获得了地球特洛伊天体在初始(a,i)轨道根数平面上的稳定区域分布,并针对分布中的一些重要结构,做了具体的分析.我们采用了对轨道规则程度更为敏感的cosσ的谱指数作为稳定性表征,得到细致的稳定区域分布图.与既有的结论[8]相比,我们得到的地球特洛伊天体的稳定区域相对大大缩小,特别是我们否定了初始轨道倾角i＞37°处地球特洛伊天体的稳定存在的可能性.

针对(a,i)平面上稳定性分布图中的一些重要的结构,我们分析了大量轨道的具体行为,通过展示几个典型轨道的方式,揭示了形成这些结构的长期共振机制.我们发现ν2−ν8均对地球特洛伊天体的稳定区域分布有影响,但(a,i)平面上不同的区域受到不同共振影响的程度以及影响的方式又不一样.有的区域仅仅一两种共振占主导,有的区域则是受到各个共振的叠加影响或者交替影响.我们特别指出,天王星和海王星虽然与地球距离遥远,仍有可能经由长期共振机制对地球特洛伊天体的运动产生不容忽视的长期影响.

我们发现绝大部分稳定的特洛伊天体的轨道倾角都仅有很小的变化,仅在(a,i)平面上极小的部分区域发现了升交点共振ν14,受其影响小部分特洛伊轨道倾角会被激发.这一发现表明:在绝大多数情况下,观测到的地球特洛伊天体的轨道倾角基本上就是其进入1:1共振区时的原始轨道倾角.

观测意义上,我们的结果展示了初始(a,i)平面上两个比较大的稳定区域,在其中较低倾角的区域内发现新的地球特洛伊天体应该具有更高的概率,这为地球特洛伊天体的进一步搜寻提供了一定参考.事实上,已经有研究者综合一些数值模拟结果并结合具体观测设备构造空间上的发现概率分布[4].而随着包括Gaia卫星在内的一系列空间望远镜投入使用,我们对地球特洛伊天体的探测能力也得到了极大的提高[20].

在本文中,我们只是以相对较为粗略的方式检查了影响地球特洛伊天体运动的长期共振机制.考虑到我们在计算中已经获得了所有试验特洛伊天体的积分轨道的功率谱信息,我们可以利用频率分析的方法在(a,i)平面上比较精确地确定共振结构,并利用类似思路,给出(e,ω)等更多参数平面上的稳定区域分布,并获得更加全面的参数空间上的地球特洛伊轨道的稳定性结果以及各种可能的动力学机制.

太阳系中,类木行星进动速度相对固定,而类地行星由于质量偏小,其进动速度往往会受摄动影响而发生变化.这种进动频率的变化,将导致不同时间段内影响地球特洛伊天体稳定性的长期共振的不同,极大地增加了地球特洛伊天体运动的复杂性.这也是值得仔细探讨的课题.

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