数学课堂的灵魂：培养数学学科精神

蒋晓云

【摘要】本文阐述数学课堂的灵魂是培养求真、理性精神，论述教师在教学中启蒙和培养学生的理性精神的途径，提出给学生“说理”，用理性的力量去震撼学生，让学生用理性的思维去思考问题，用理性的精神激励学生的做法，让学生的思维从“显然正确，不用验证”转变为“崇尚理性，数学证明”。

【关键词】数学课堂灵魂 理性思维 理性精神

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）11A-0034-04

一、数学课堂的灵魂

2005年3月初，姜伯驹院士在全国政协会议上的提案对数学课改提出了尖锐的意见：中小学数学教学淡化了数学中的逻辑推理、理性思维，代之以“贴近学生熟悉的现实生活，使生活和数学融为一体”;一些很基本的结论不要求说理，有的教材就代之以“合情推理，发现规律”，让学生用测量、计算等方法进行验证，甚至连很多教师也不会说理了，“数学”很难培养学生分析问题与逻辑推理等方面的能力，更谈不上培养学生的创新能力;教育的效果是滞后的，当这一代中小学生长大成人后理性思维能力不强，就悔之晚矣。他还特别强调：不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。

数学课堂的灵魂就是培养数学学科精神。数学学科的“科学精神”是什么？笔者给出的答案是：求真、理性。

求真精神是一种“推演的精神、逻辑的精神”，是一种理性精神。仅靠几条公理推导出几百个结论的《几何原本》，是一部以逻辑演绎为主的经典著作，影响西方理性文明长达两千多年，并且其影响力还将丝毫不减地持续下去。它使人们了解到理性的力量，正如爱因斯坦曾赞叹道：“数学推理的这种可赞叹的胜利，使人类的智慧获得了为取得以后成就所必须的信心。”

针对数学的理性精神，齐民友先生进行了如下精辟的论述：“每个论点都必须有根据，都必须持之以理，除逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令，还是流行的风尚统统是没有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜——宇宙和人类的真面目是什么？——是人类文化发展到高度的标志。这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。”

笔者认为小学数学课堂理性精神是：理性思辨，不感情用事;实事求是，不盲从权威;尊重数据，不弄虚作假;科学严谨，不随欲而为。发挥数学的文化教育功能，就应积极地培育理性精神、演绎理性的力量。

二、理性精神的启蒙

数学教育理性精神的启蒙与养成，主要是指学生形成概念、判断、推理等数学思维形式和利用这些思维形式对现实世界进行思考的能力。克莱因曾说：“数学是一种理性的精神，它使人类的思维得以运用到最完善的地步。”这句话翻译过来是说，“数学让你做事的时候长脑子了”。

（一）数学理性让我们识别“运动达人”

前几天笔者一同事在“微信运动”“晒”行走步数，一天走了98800步。笔者看到一愣，赶紧问他：“你今天走了多少步？”他说道：“98800步，怎么啦？”笔者惊讶地问他：“你在练竞走？”“不是啊。”笔者坚定地说：“你的步数是作弊得到的！”后来，该同事承认他的行走步数是用软件“刷”的，从此微信多了一个假的“运动达人”。面对 这件事情，我们只要數学的理性思维“在线”，稍加思索就能发现真相。假设一个人1秒钟能走2步，1个小时能走7200步，走够98800步需要约14个小时，一个人要一天之内连续走约14个小时，这真的可能做得到吗？

除了在微信“刷”行走步数，还有人“晒”读书数量，一年五六千本书……故事远不止这些。难道是我们缺乏常识去辨别真伪吗？不是的，只是数学的理性思维常常被我们搁置在一边。

（二）直觉有时候会误导我们

在一次乡村小学数学教师培训活动中，笔者与参训教师交流了一道题：一辆汽车从甲地开往乙地，平均速度每小时40千米;从乙地返回甲地，平均速度每小时60千米，问汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少。大多参训教师的答案是：（40+60）÷2=50（千米/小时）。

事实上，这个答案是错误的。平均速度=总路程÷总时间，如果甲地与乙地相距s千米，从甲地开到乙地的时间为[s40]小时，从乙地回到甲地的时间为[s60]小时，汽车往返甲乙两地的总时间为[s40+s60]小时，总路程为2s千米，汽车往返甲、乙两地的平均速度是：[2ss40+s60]=48（千米/小时）。这些思考过程并不复杂，但偏偏在这一刻，感性的“直觉”代替了理性的“计算”。

有些数学内容虽然在现实生活中没有太大的实际用处，但它也许是“思维的体操”“理性的精神”——可以提升思维水平，培养理性思维，锻炼聪明头脑。数学能让我们做事的时候带着脑子。

（三）眼见未必为实

图1展示的是流传甚广的“消失的正方形”：两个13×5的多边形都不是三角形，但是我们用肉眼观察时会得到“将上面的三角形切成四部分之后再重新拼图，少了一块小正方形”的错误结论。

由此例我们可以感受到仅凭观察、操作、实验是不够的，还需要依靠演绎推理去证明。

（四）费马的错误

1640年，著名数学家费马对形如 [2][2][[n]]+1的数进行计算时发现，当n=0，1，2，3，4时对应的数分别是3，5，17，257，65537，它们都是素数。于是，他归纳出一个猜想：“所有形如 [2][2][[n]]+1（n=0，1，2，3，4……）的数都是素数。”

直至近百年后的1732年，瑞士数学家欧拉发现 [2][2][[5]]+1=641×6700417不是素数，从而否定了这个猜想。

事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。归纳可以为我们提出论断的猜想提供基础与依据。它是一种重要的思维方法，是发现数学定理的一个重要方法。但我们一定要意识到：归纳推理所得的结论并不可靠。

（五）类比不靠谱

两个人从一个高大的烟囱里爬出来，其中一人的脸上满是烟灰，而另一人的脸却很干净，那么谁会洗脸呢？我们都脱口而出：“当然是那个弄脏了脸的人！”

然而事实上，脸很干净的那人看不到自己的脸，但他可以看到满脸灰尘的同伴的脸。于是，他可能有这样的推理过程。前提1（类似）：我们都是从烟囱出来的;前提2：他满脸灰尘;结论：我也满脸灰尘。于是脸很干净的人去洗脸了。而满脸烟灰的人看着没被弄脏脸的人，会推理得出“我脸上一定也是干净的”的结论，所以他不会去洗脸。

我们都知道类比推理的规则是：A和B既然已经在一些方面很相似了，那么A和B在另一些方面也会很相似。类比推理是非常实用的推理，属于合情推理，符合情理，但不一定符合逻辑，得到的结论不一定正确。我们在日常生活中，如果只用类比推理来为结论提供支持，那么这个支持的力度通常会非常弱。

类比推理，其实更多时候是起到说明的作用，让大家更容易理解我们想表达的结论。我们可以用类比推理启发自己的思考、向他人通俗易懂地说明自己的想法，但最好不要用类比推理来支持自己的结论。

数学的逻辑演绎推理方式和科学的实证方式是人类迄今为止所找到和掌握的最可靠的认识论，没有任何一种其他的认识论的可靠性可以与此二者相提并论。在这样一个“伪知”盛行的资讯时代，强调认识方法论的可靠性有着特别的现实意义。因为不经过可靠的方法论检验，“伪知”极易乘虚而入，所以进入我们大脑的知识，宁可少点，也要好点，更不能将“伪方法”运用到教育中。

整个义务教育阶段，数学教师都应注重培养学生的数学思维和理性精神，包括实验归纳、观察归纳、类比、直觉等合情推理。但是要意识到，合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的，还需要依靠演绎推理去证明。针对演绎推理，《义务教育数学课程标准》（2011版）明确要求：在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道，在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。

三、理性思维的培养

人们认识宇宙、认识人类社会都要经历从感性发展到理性、在实际应用中深化的过程。任何科学知识的形成都需要积累感性经验，还需要归纳、提炼、概括，使之条理化、严密化，实现从感性阶段到理性阶段的发展。在这个过程中，数学是最強大的思维工具，促进了理性精神的形成。

（一）崇尚理性进行数学证明

2005年3月初，姜伯驹院士在全国政协会议上的提案中指出，“三角形内角和等于180°”这样的基本定理，只让学生用测量、计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律（结论）”，不说理、不证明，数学课就失去了理性的精神。反思这十多年的小学数学课程改革，小学数学教学淡化了数学中的逻辑推理及理性思维。

教师在教学小学数学“三角形的内角和”这一内容时，主要环节包含：创设情境、提供素材、操作验证、得出结论，其中的操作验证，分别是“量一量”“算一算”和“拼一拼”。某教师在完成了“量一量”“拼一拼”“折一折”的实验后总结出：我们用了这么多种方法来验证，现在完全可以肯定地说：“三角形的内角和是180°。”

事实上，“从特殊到一般”的“归纳”并不完全、“眼见并不一定为实”的例子告诉我们：实验观察的结果不一定靠谱。合情推理得出的结论可能是对的，也可能是错的。只用“量一量”“拼一拼”“折一折”的实验归纳还不能完全肯定“每一个三角形的内角和都是180°”。

因此，我们在人教版、北师大版等小学数学教材内容的基础上，增加了“演绎推理论证”的方法。这一学习过程初步培养学生的演绎推理意识，启蒙理性精神，帮助学生从理性的角度研究三角形的内角和。

小学数学课堂“三角形内角和定理”推理论证的教学安排

[对象 特殊直角

三角形 一般直角三角形 锐角三角形 钝角

三角形 方法 测量求和 借助全等直角三角形与长方形的内角关系 利用直角三角形的两个锐角的和 模仿前面的做法 非直角的两角和：30°+60°=90°

三个角的和：30°+60°+90°=180° 长方形四个内角均为90°，其内角和为360°且是直角三角形内角和的2倍。因此，任意的直角三角形内角和为：360°÷2=180°。非直角的两角和为90° ∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2+∠C=90°+90°=180° 略 ]

（二）渗透理性思维，感受理性力量

在人教版小学数学六年级下册《鸽巢问题》“模型化”的过程中，借助实际操作，把“4支铅笔放到3个铅笔盒中”，得出“总有1个笔盒里至少有2支铅笔”的结论，这对学生来说很容易理解。但教材中“6只鸽子飞进5个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子”的结论，不能借助实际操作验证，学生找不到切入点，缺少思考的方向，感到非常困难。其实我们可以通过逆向思维思考实际问题：“假如每个笼子中的鸽子数都没达到2只（即0只或1只），所有的笼子中最多共有多少只鸽子？”追问：“笼子中应该共有多少只鸽子？”这样的过程渗透“反证法”的逻辑推理规则，促进学生逻辑推理能力的发展。培养“逻辑推理”核心素养是课标的要求，也是本课的编排意图和价值取向。

（三）感受数学规定的合理性

“负负得正”是一种规定，不是“证明”。“负负得正”的教学往往是“从规定到规定”，因而显得简单、直接，但不够自然。

中国杂交水稻育种专家、杂交水稻之父、中国工程院院士、首届国家最高科学技术奖得主袁隆平在中学时，曾问他的老师“为什么‘负负得正”这个问题，老师也讲不清楚，只告诉他：“记得就行了。”之后，袁隆平经常遇到一些老师也无法回答清楚的问题，于是他得出“数学不讲道理”这一结论，从此放弃了数学学习。这个事例告诉我们，只要求学生记住“规定”是不够的，必须让学生感受“规定”的必要性和合理性。

为了解释“为什么‘负负得正”这个问题，首先应明确乘法的意义，如2×3表示3个2相加，即2+2+2=6，所以2×3=6。

在这个自然数加法和乘法运算意义下，我们得到了加法和乘法运算的基本性质：加法交换律、结合律;乘法交换律，结合律;乘法对加法的分配律。

如式子（-2）×0=0的意义是很“自然”的，因为0个（-2）就是0。（-2）×3可以理解为3个（-2）相加，即（-2）+（-2）+（-2），所以（-2）×3=-6，这个运算式子在数轴上还能直观表示，学生理解起来没有困难。

（-2）×（-3）又该怎样理解呢？而根据现实生活模型或学生已有的认知水平是很难理解它的意义的。这时，数学面临一个挑战：如何让学生从情感上和理性上都能接受（-2）×（-3）的意义呢？过程如下。

有学生觉得（-2）×（-3）=-6才比较合理，如果真是这样，那么有：（-2）×（-3）+（-2）×3=（-6）+（-6）=-12       （*）

扩充的“运算规定”与原有的小学阶段学习的“正有理数的加法、乘法运算的基本性质”必须相容、和谐，意味着扩充的“运算规定”必须满足加法交换律和结合律，乘法交换律和结合律以及乘法对加法的分配律等。

（-2）×（-3）+（-2）×3=（-2）+[（-3）+3]=（-2）×0 =0（**）

式子（*）和（**）矛盾，（-2）×（-3）=-6的规定与原有的运算基本性质不相容。

受式子（**）的启发，（-a）×（-b）+（-a）×b=（-a）×[（-b）+b]=（-a）×0=0，从而，（-a）×（-b）与（-a）×b应该互为相反数，教师进一步引导学生感受“负负得正”规定的合理性。

學生学习“负负得正”经历了如下过程：面对挑战—提出“规定”—质疑或感受“规定”的合理性—做出“规定”—验证“规定”与原有知识是否相容—有理数的乘法运算得到扩充。这样的过程，有助于发展学生的理性精神，有助于学生感受数学如何在自身的矛盾运动中不断得到发展。事实上，学生借助学习“负负得正”所获得的经验，不难自己尝试对零指数幂、负整数指数幂的意义做出合理的“规定”。

（四）明确数学方法的本质，不盲从

图2来自人民教育出版社小学数学教材，刘徽首创的“割圆术”方法与无限细分逐步逼近的极限思想，不仅为圆周率的计算提供了思想方法和理论依据，也对中国古代数学研究产生了很大的影响。学生通过对“割圆术”的了解，在感叹中国数学文化博大精深的同时，也感受到数学极限思想的奇妙。

图2

图3来自美国小学数学课本，非常类似刘徽的“割圆术”：先画个圆的外接正方形，然后按图示把正方形转化成“外围”的多边形，也就是正方形无限折，直到最后，正方形的周长就和圆的周长相等了。

结果求得π=4。这是怎么回事呢？在图3中，无论怎么分解，“外围”的多边形的周长是不变的，即等于圆外接正方形的周长。它不能无限逼近圆的周长，这就是错误的本质所在，它与割圆术有着本质的区别。

四、教育行动研究

我们通过课例研究的方式，开始了“发展理性思维，培养理性精神”的行动研究。将高校教师、师范生、中小学教师融入到同一个教育与研究环境中，由高校教师做专业引领，将高等教育的优质教育资源、小学一线教师丰富的实践经验、师范生“三新（新理念、新知识、新技术）知识”相融合，形成共同培植和发展的模式。我们已经成功举办了以“文化视角下的小学数学教学课例研究”为主题的小学数学教学研讨和展示平台“七星课堂”，以“关注逻辑推理，促进数学教学”为主题的“宝贤课堂”。在“七星课堂”和“宝贤课堂”这两个教师专业发展共同体上，展示了一批课例研究成果，如小学数学《三角形内角和》《圆内线段直径最长》;初中数学《三角形稳定性的再认识》《三角形内角和定理的证明》等。

数学理性追求的是永恒的、确定的、可靠的知识，即数学知识的逻辑的严密性和结论的可靠性。数学教学不仅教生活中的数学，更重要的是给学生“说理”，用理性的力量去震撼学生，让学生用理性的思维去思考问题，用理性的精神激励学生，让学生从“显然正确，不用验证”转变为“崇尚理性，数学证明”，在数学课堂中经历一次思想上的飞跃。

高校教师、专家的讲座，师范生与在职中小学教师同台展示、同课异构、讨论交流，融理论、实践于一体的教育范式，是我们这些年来的奋斗目标。师范生与中小学教师一起在这样的“教师专业发展共同体”受益，实现真正意义上的教师专业成长。

（责编 刘小瑗）