数学课堂的探究性学习

吴学军

摘要：数学探究学习的一般原理从内涵到形式、从结构到机制、从自身特征到相关因素，涉及众多的内容。数学探究学习是指学生自己或合作共同体针对要学习的概念、原理、法则或要解决的数学问题主动地思考、探索的学习活动，强调的是一种主动参与的学习方式。数学探究学习的典型活动是数学推理，这是数学学科的探究学习区别于其他学科探究学习的根本所在。

关键词：探究性学习；概念；原理；问题解决

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）10-0075

概括地说，数学探究学习是指学生自己或合作共同体针对要学习的概念、原理、法则或要解决的数学问题主动地思考、探索的学习活动，强调的是一种主动参与的学习方式。对于展开的途径、问题的程度和类别则不作过多限定。就是说，数学探究学习可以在不同的层次上进行，既可以对一般性的学习内容或问题展开探究，也可以针对数学学科的某个主题由学生形成自己的问题或活动意向，或者由教师提出问题，并创设探索所需的情境和途径，之后，学生针对问题特点通过直观思维、逻辑推理、精确计算等数学活动，形成自己的假设，并通过反思、观察和必要的数学实验活动检验假设，直至解决问题，在探究活动的基础上建构起对数学知识的理解和有关的方法、技能。

数学探究学习的典型活动是数学推理，这是数学学科的探究学习区别于其他学科探究学习的根本所在。就当前而论，首要的问题是要改变那种把数学探究学习窄化为走出课堂、调查实践的“专题性研究”的观点，而应在较为广泛的意义上，立足于学生的日常学习，将探究学习作为数学学习的基本方式加以提倡，这样才能真正发挥数学探究学习的效力，改变数学学习中过分倚重模仿、识记和重复演练的现状。

所謂数学课堂教学中的探究学习是指在数学课堂教学的环境下，学生围绕正常的教学内容，就某些数学概念、原理、问题，以探究的形式学习新知识的过程。这个过程包括：设置情境，提出问题，思考、探讨问题的结论，给出解释或证明。这种探究学习形式有三个突出特点：一是教师的全程监控指导；二是探究内容的相对稳定性；三是时间和空间的固定性。因此，它属于一种有结构的“定向式探究”（相对于开放式探究而言），即由教师提供探究内容并确定探究程序，学生寻找答案、发现联系的探究过程。

虽然在探究过程中需要教师提供大量帮助，但学生在观察和分析数学事实、建立假设、归纳和演绎推理及做出结论时，教师起着引导而不是包办代替的作用。也就是说，在定向探究活动中，教师只是为学生的主动探究活动搭建一定的“脚手架”，并没有铺平学习的道路，学生需要发挥主观能动性，亲自体验探索、研究的过程。

根据数学学习内容的特点，数学课堂教学中的探究学习又可大致分为三种主要的类型，即数学概念的探究学习、数学原理的探究学习、数学问题解决的探究学习。由于概念、原理、问题解决的学习各有其特色之处，即便都采用类似的探究模式展开，也会呈现出较为明显的差异。因此，有必要针对各自的特点进行对比分析。

一、数学概念的探究学习

数学概念学习的基本过程是：接触到新的数学对象，学生首先根据自己的观察抽取对象的主要特征，然后提取相关经验结构与新的数学对象类比，若吻合，则保留原有概念，但扩充了原有概念的范例；若不吻合，则修改原有概念以使其适应新的信息。新概念产生后必须经过应用阶段的检验才能被学生接受，若运用成功，新概念框架形成；若运用不成功，则还需要进一步的检验和修正。可见，这是主动建构、逐渐形成的过程。大多数的数学概念是适于采用探究学习方式进行的。这一探究的过程大致涉及四个阶段：

设置相关情境→寻求本质特征→解释概念框架→精致、拓展与验证

很明显，数学概念的探究学习是需要教师设计和引导的。同样的数学概念既可以通过教师的讲授间接获得，也可以设计成学生的探究活动直接获得。虽然并不是所有数学概念的学习都适于采用探究的方式，但现实数学课堂中对一些可以而且应该采用探究方式获取的概念还没有引导到有效的探究层面。

二、数学原理的探究学习

数学原理的学习主要是在概念学习的基础上，对概念间的关系或一些并不明显的数学事实进行“再发现”与认同的过程。如“等腰三角形的两底角相等”的学习是在掌握“等腰三角形”“底角”等概念的基础上，对“相等”关系的认识；而“三角形的内角和等于180。”的学习则是要“再发现”这一数学事实。

一些数学原理是在生活实践或数学实验的基础上归纳推理的结果，如“勾股定理”；而另一些数学原理则是对抽象的数学对象演绎推理的结果，如“实系数方程的虚根成对定理”。所有这些数学原理的学习可以通过适当的形式或整体、或局部的通过探究活动进行“再发现”其基本过程如下：

设置情境→展开探究→发现原理→探求证明→证明原理 研究原理

首先根据原理的特点创设合适的探究情境（如实验情境、辨析情境等）使学生能够通过自己的努力体验到原理的合理性，然后探求证明思路，从逻辑上给出严格的证明，逐渐过渡到心理意义上的认同，再通过进一步的使用、验证、分析研究原理。

三、数学问题解决的探究学习

实际上，数学探究可归类于问题或属于解难题范畴。而解决数学问题的过程本质上就是一个探究过程。这可以反映在解决数学问题的几个主要阶段中：

理解问题→规划并施行→反思与拓展

理解问题，即是要探寻问题所呈现的信息的实质以及相关联系，这是一个反复揣摩、逐步精致的求索过程；规划并施行，即是根据对问题的理解调动自己头脑中已有的“解题知识块”，并进行必要的重组或“再构造”，规划出解题路径并尝试执行，这是深入思考、不断摸索的过程。

需要说明的是，虽然数学课堂学习中可以探究的内容不外乎概念、原理、问题解决等方面，但并不是所有的概念、原理、问题解决等内容都是适于采用探究学习方式进行的。而且由于课堂时间和空间的限制，即使一些适于探究的学习内容也不见得就能全面铺开，有时只可能是部分地进行。

（作者单位：江苏省新沂市新店中学 221400）endprint