椭圆焦点三角形的几个性质

陈雯娟

摘要： 椭圆焦点三角形是高中数学学习的重点也是难点，也是高考容易丢分的题型。我通过学习和日常练习的积累，就椭圆焦点三角形的性质进行了详细的探讨，希望能帮助到同学们克服学习椭圆焦点三角形时的困难、突破瓶颈。

关键词： 椭圆；焦点三角形；性质

椭圆焦点三角形以椭圆的两个焦点F1、F2与椭圆上任意一点P组成的三角形。也就是椭圆上的任意一点与两个焦点构成的三角形。如下图所示：F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点，P是椭圆上的任意一点，这三点组成的三角形△F1PF2就是椭圆的焦点三角形。椭圆焦点三角形是高考的热门考题型灵活多变，涉及椭圆定义、三角形内角和定理、正弦定理等知识，对学生的综合素质要求比较高。本文分析椭圆三角形的常见问题，并结合椭圆焦点三角形的性质，希望帮助大家提高答题的速度和正确率。

性质一：若F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=α，则S△F1PF2=b2tanα2

问题1：如图，F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=α，求ΔF1PF2的面积.

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得：

m2+n2-2mncosα=|F1F2|2=4c2，又m+n=2a，

所以（m+n）2-2mn（1+cosα）=4c2

即4a2-2mn（1+cosα）=4c2，得mn=2（a2-c2）1+cosα=2b21+cosα （1）

所以S△F1PF2=12mnsinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2

性质二：已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=α，则cosα≥1-2e2（当且仅当P为短轴端点时取等号），此时α有最大值。

证明：由（1）知：1+cosα=2b2mn， 又0 所以1+cosα≥2b2a2，

则cosα≥2b2a2-1=2（a2-c2）a2-1=1-2e2（当且仅当m=n取“=”） （2）

问题2：已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=120°，求离心率e的取值范围。

解：法1：由性质二知只要∠F1P0F2≥120°，则只要θ≥60°

所以sinθ=ca≥sin60°=32，

即e≥32，又0 法2：由性质二知只要cos120°≥1-2e2，即-12≥1-2e2，得2e2≥32，所以e2≥34，又0 性质三：已知F1、F2是橢圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=α，则离心率e∈[sinα2，1）。

证明：法1：由性质二知只要∠F1P0F2≥α，则只要θ≥α2

所以sinθ=ca≥sinα2，

即e≥sinα2，又0 法2：由（2）知cosα≥1-2e2，2e2≥1-cosα=2sin2α2

所以e2≥sin2α2，即e≥sinα2，又0 法3：设P（x0，y0），由性质一，SΔF1PF2=b2tanα2=122c|y0|，得|y0|=b2tanα2c，因为|y0|≤b，所以b2tanα2c≤b，得bc≤1tanα2，又e2=c2b2+c2=1（bc）2+1，所以e2≥11tan2α2+1=11sin2α2=sin2α2，

所以e≥sinα2，又0

（作者单位：湖南省长沙外国语学校2015届高三K1501班 410004）