妙解高中数学填空题四大技巧详述

福建省龙岩高级中学 卢文胜

福建省龙岩二中 张南福

高中数学试卷中的填空题普遍呈现先易后难的阶梯型分布，从基础的计算和公式运用到综合运用逻辑推理的拓展题均有考查，覆盖知识面广，题型较为灵活，因此教师应当引导学生掌握更多的填空题解题技巧，针对不同的题型大胆尝试不同的解题技巧，提升分析问题和解决问题的能力。以下笔者将从基础知识、合理推导、代入特值以及等价转换四个最常用的填空题解题技巧进行具体阐述。

一、打牢基础，寻找知识关联

解决任何数学问题的首要前提和关键因素在于牢固掌握基础知识。高中数学知识点多而杂，且填空题出题形式灵活多样，涉及的知识点较为全面，多以综合考查多个知识点的形式出现。因此，教师应当注意对学生知识体系建立的引导，促使学生在平时的学习中就形成建立完整知识体系的意识，注重知识点之间的关联运用，辅以适当的习题进行巩固和拓展。只有知识点掌握得更加全面，对知识点之间的联系更加清晰，才能确保简单题不失分，并且冷静应对填空题中出现的各种各样的新颖题型或难度较大的问题。

例如，笔者在课堂最后的练习巩固环节，给学生设计了这样几道基础填空题，供学生在有限的时间里完成：

1） 已知集合 A={-7，-3，0，3，4，6}，集合 B={-3，0，3，4}，则 A∪B=______，A∩B=________。

2）已知函数 f(x)=1+x/(1-x)的定义域为A，函数f[f(x)]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是_______。

第一小题是最为基础的“集合”问题，考查的是学生对集合中的“交集”和“并集”的概念，同时这样的基础题也存在着学生易犯的错误点，即交集和并集也是集合，因此答案呈现出来也应当是集合的形式，这往往是学生认为题目相对简单而容易忽视的问题；第二小题考查的是函数和复合函数的定义域问题，定义域A尚不难理解，学生理解f[f(x)]的定义域就是f(x)的值域是本道题的解题关键点，理解这一点学生才能了解A和B之间的关系为A⊂B。

完善学生的数学知识体系，离不开适量的习题作为锻炼，只有学会将知识点实际运用到解决问题之中，才算是真正掌握了知识点，在面对陌生题时才能有从容不迫的心态。

二、合理推导，思维灵活转变

直接推导是学生在解决填空类问题时最为常用的一种方法，也是最简单而实用的一种方法，通过分析题中所给条件，找出条件之间的相互关系，并思考与问题和条件相对应的知识点，层层递进。在实际教学中，笔者发现学生往往会因为填空题短小精练，而忽略文字中隐含的一些关键信息，导致推导链中断，卡在一个思维关键点，很难进行下一步推导。因此，教师应当引导学生仔细阅读题干信息，不放过题干中每一个隐藏条件，从而保证思维更加全面和完善，实现流畅的思维推导，保证思维的缜密性，提高填空题正确率以及信息提取和分析的能力。

例如，笔者针对推导这一解题方法给学生设计了这样一道应用题：

箱子中共有红、黄、蓝三种颜色的小球，一人有9次抽取小球的机会，在9次尝试中，均抽中红球的人获得一等奖，8次抽中红球的人获得二等奖，7次抽中红球的人获得三等奖，抽中7次以下红球的人不获奖。请问，一个人获得一等奖的概率是________。

这道填空题中分别有三个奖项对应的条件，但不是每一个条件都对解决问题有作用，问题是获一等奖的概率，因此二等奖和三等奖的条件则是无用条件，也可以说是本题的干扰条件，因此面对这些无用条件，学生应当懂得分析和舍弃，将思维集中在有用条件上，共三个小球，抽中红球的概率为1/3，共9次机会，由于每一次时间都相互独立，因此最后获得一等奖的概率即1/3的9次方。

此外，填空题虽然答案固定，但也不乏出现多解的情况，答案往往缺一不可。因此，在利用条件进行推导的过程中，应当尤其注意个别条件的表达方式，诸如圆和直线的位置关系等等可能会出现多解情况的问题，教师应当在平时的教学中注重一题多解意识的引导和渗透，确保学生思维的全面性和严密性。

三、代入特值，巧用逆向求证

代入特值是针对填空题无需完整解题过程这一特点的特殊方法。通常运用于问题推导过程中思维受阻的情况下，以及答题时间紧迫或是答题经验相对丰富的情况下。代入特值这一方法简便快速，不需要经过复杂的逻辑思考和判断，而是根据大致题意，选取合适的特值代入，作为条件来逆向证明是否符合题意，适用于含有不定量和定论的题目。代入特值这一方法不局限于选取特殊的代数值，学生可根据题目的具体需要来选取一个点、一个坐标或一个特殊状态的几何图形、一个特殊数列等等，可根据题意随机应变，有利于学生将复杂抽象的问题简单化、具体化。

例如，已知△ABC的三条边a，b，c成等差数列，则 (sinA+sinB)/(1+sinAsinB)=__________。

本题条件中未提及三角形三条边的具体长度，但由“三条边长度成等差数列”可知三条边长度的数量关系，若在解答题中，设三条边为相应的未知数进行解答，过程较为烦琐，而在填空题中可用快速而简单的特值方法来解决，比如学生在日常的习题练习中常常会见到边长为3，4，5的直角三角形，而三条边的长度又刚好满足等差数列的条件，因此是可以代入的合理特值，这样就能轻松得到最终结果，节省大量推理和演算的时间。

特值代入法是建立在有根据可循的基础上，不可凭空臆造数值代入计算，而在实际解题过程中，学生代入之所以能够快速想到合理数值，除了条件提示，与平时做题积累的经验是分不开的，比如针对此题学生若平时肯多做题多琢磨，对三边长分别为3，4，5的这一直角三角形不会陌生，从而能够在综合填空题的考查中以更快的反应速度完成这道题的解答。

四、等价转换，深入浅出分析

高中数学填空题形式多样，新颖灵活，尤其是在后半部分难度较大的几道题中，常常综合考查多个知识点，因此在面对新颖题时，学生往往无从下手。实际上，只要知识点的考查不变，那么任凭题目条件如何变化，都不会影响到最根本的解题方法，尤其是在填空题方面，与解答题相比，填空题无需过程且分值较小，无需耗费大量时间去解一道难题，这种做法在考场上是得不偿失的。因此，面对新颖题，教师应当引导学生灵活运用等价转换的方法，透过题干中的表层文字，剖析条件的根本所在，从而在大脑中搜索到相似、熟悉的问题，将新问题转换为老问题来解决，能够大大减小解题难度，实现高效做题。

例如，笔者在讲授圆锥曲线和直线的位置关系时，曾设计了这样一道经典的填空题：已知曲线x2+y2-2px+p2-2p-4=0与直线y=mx+1(a∈R)始终有一交点，求p的取值范围_____。

这道题中涉及到了p和m两个未知参数，给学生解题增加了难度，但学生完全可以运用等价转换这一思想来解决这个问题，即y=mx+1这一直线与y轴有一交点（0，1），无论 m 值如何变动，这个交点都不会发生变化，因此本题的解题思路也就转换为只要（0，1）在曲线内，两者就始终有一交点，将这一交点坐标代入曲线令1+2p2-2p-4≤0即可得出最终答案。

题中所给的条件看似都是数值之间的关系，但圆锥曲线与直线的位置关系实际上应当放在坐标系中去分析，找出直线不受参数所影响的一个点，排除其中一个参数对解决问题的干扰，由此才能将题目的难度减小一半，代入得正确答案。

总之，虽然填空题覆盖知识面广且灵活多变，但其难易程度成阶梯形规律分布，因此学生首先应当牢固掌握基础计算方法和公理运用，确保基础题的正确率和解题高效性。在面对新颖题型时学会运用等价转换的方法，学会转换，在学生思维受阻时采用合理推导或代入特值来疏通思路，选对解题技巧，同时在此过程中提升信息分析和策略选择的能力，实现数学综合素养的提升。

[1]华腾飞.巧用特殊法 妙解选择题[J].高中数学教与学，2012，9.

[2]杨伟达.用好平行线妙解高考题[J].中学数学杂志，2016，11.

[3]靳自忠.巧用整体思想 妙解数学问题[J].高中数学教与学，2017，3.