中学数学解题过程中思维活动的探究

江苏省新沂市高流初级中学 李云霞

一、数学思维材料与结构

数学思维材料既有感性的，也有理性的，它们是进一步思维加工的基础。数学思维材料中的表象是在感知的基础上在人脑中形成的印象，或者通过头脑加工、想象而重新构成的事物的形象。感知是一切理性认识的基础与开端。表象是从感性认识到理性认识的桥梁，因而对思维能力的发展有了重大的意义。

由数学概念、判断、推理构成的命题，以及由数学问题系列构成的数学知识体系是数学思维的理性材料。它们既是数学思维的对象，又是数学思维的产物。“题海战术”的训练，是难以使数学思维产生质的提高的。

应该指出，数学思维材料并不是数学思维过程的唯一决定因素。数学思维还受到其他各方面因素的影响，尤其是非智力因素的影响；而数学思维结构各要素的发展水平以及相互组合的差异，也是我们应该考虑的因素。所以，在解题过程中的思维训练，不能简单地把问题的解决当作唯一目标，培养数学思维能力直到形成良好的品质结构才是思维训练的终极目标。

在数学解题过程中起主要作用的思维方式为：逻辑思维、形象思维和直觉思维。在数学解题过程中的数学思维要素有：抽象、概括、推理、选择、判断和探索。

必须指出：

1.数学思维结构决定了综合的数学思维能力的高低。研究它的组成要素及相互关系是数学思维结构研究的基础。

2.数学思维结构是在个体的数学活动中形成发展的，是个性化、内化的心理特征。所以，数学思维结构既有个体差异，又有年龄特征。要研究每一个体思维结构的瞬时形态与演化趋势。

3.数学思维结构只有能动作用于数学对象才能产生思维成果。在解题过程中动力系统与目标调整控制系统是重要的因素。

4.数学思维结构同一般意义下的数学认知结构的外延不同。因为认知还包括了观察、记忆和在此基础上的思维活动。但可以认为，由于人的观察、记忆均与思维不可分割，一定的思维水平都赋予人一定的观察、记忆、理解、创造能力。在这个意义上，可把数学思维结构称为数学认知结构。

在数学解题中，数学思维的一般方法或偏重于求解、论证、思辨、整理，或偏重于探索、发现、创造。当然，在具体解题过程中，各种数学思维方式、要索、方法要灵活地辩证使用，以发挥数学思维结构的整体功能。

二、数学解题的思维过程

一般来说，数学解题总是首先对问题做出概括的思考，通过直觉思维概略地确定基本的解题策略，有了整体解决方案后，再去深入考虑具体的方法与技巧。

可以看出，一般性解决只是解题的一种“念头”“思路”或“猜想”，它为思维提供了方向与动力。在特殊性解决中，一般逻辑思维占据主导地位，它实际上是对一般性与功能性两种“抽象”的解决的逻辑检验与具体实施、补正及完善。因而，一般性与功能性的概略解决，具有极强的应变力，且为具体的解决留有充分的变通余地。

可见，在数学解题过程中，最重要的是探索。这种思维要素，在数学解题过程中，表现为在思维出现障碍时特需的心理逆转过程，因而数学探索能力也是解题活动中最富创造性、最难以培养、发展的思想。

三、数学学习目标与方法指导

在训练学生思维过程中，要注意学习目标的确定和学习方法的指导。如学习《直线与三角形》，可确定如下学习目标：

1.了解点、直线、平面、线段的和(或差)、角的和(或差)的概念；了解命题、定理、证明等概念。

2.理解射线、平行线、垂线、三角形、轴对称及其图形的概念。

3.掌握成比例线段的性质，平行线的判定公理(或定理)与性质公理，会解决两条直线平行或垂直、线段成比例等有关问题；掌握三角形、全等三角形和相似三角形的概念、性质定理与判定定理，会解决线段、角等有关问题。

4.会用直尺、三角板、圆规、量角器等工具画图、测量，掌握度、分、秒的换算。

5.能正确地书写证明过程，独立进行推理证明。

在思维训练过程中，学习方法指导重要。如学习《直线与三角形》，可进行如下方法指导：

1.课本中的七条公理，是今后一切几何命题推理论证的根据，是平几的立论基础。直线、射线、线段和角的概念以及基本性质则是直线发源于公理的一类几何基础知识。

2.两条相交直线有对顶角相等的性质，殊殊相交，可研究垂直关系。

3.三角形是平几中的基础内容。构成三角形的元素是三条边和三个角。在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，反之亦然。

4.根据三角形的边、角的特殊数量关系可以把三角形分类。等边三角形具有等腰三角形的所有性质，每个内角都是600；四心(重心、垂心、外心和内心)合一。

5.关于三角形的角平分线问题要注意它的轴对称性质。把关于轴对称的两个图形看作一图形时，便是轴对称图形，把轴对称图形沿轴分开看作两个图形时，便是轴对称。在全等形的证明中，若能利用“对称”性质，往往可使证明简便。