薄板在HASS试验振动载荷下的响应分析

王海东，王肇喜，杨胜康，陈志伟

（1.上海航天精密机械研究所环境试验检测部，上海 201600；2.西安电子科技大学机电工程学院，陕西 西安 710071）

0 引言

开展应力筛选和可靠性试验已成为产品研发和生产过程不可缺少的重要组成部分，其对提高产品针对性、筛选效率及功能可靠性具有重要意义。高加速应力筛选（HASS）试验采用远高于产品技术条件规定值的应力量级进行试验，以快速激发并清除产品潜在缺陷，从而达到提高装备可靠性的目的[1]。

据统计分析，振动环境和热环境是对装备失效形式最主要的影响因素。因此，温度和振动被列为最有效的试验应力，施加这两种载荷能够更加可靠的模拟产品在使用时的工作环境。其中，振动载荷可使结构过度弯曲而导致器件表面粘附、断裂或分层，甚至造成结构疲劳失效的产生[2，3]。因此，许多研究者对产品在HASS试验随机振动载荷条件下的响应展开了研究[4，5]。

李健[6]采用模态迭加方法和等效黏滞性小阻尼条件，计算复合载荷作用下的振动加速度响应分析。马思鹏[7]通过对小尺寸PCB组件进行了有限元建模和随机振动加速试验的仿真分析得出振动响应曲线。孟玥然[8]利用仿真的手段对电路板组件进行随机振动试验分析，得到其频响特性曲线。图1为HASS振动载荷试验剖面示意图，如图1所示，横坐标为振动数值加载的时间，纵坐标为所选振动量级大小，振动幅值用加速度均方根值来表示。而且其振动载荷在时域上呈现明显的超高斯振动特性[9，10]。

此外，国内外学者也开始进行非高斯信号形成的研究[11，12]。Seong[13]基于非高斯随机信号生成的方法，将建筑表面的风力载荷基于一定方法模拟成时域非高斯信号历程。Kumer[14]采用逆傅里叶变化方法，利用自己提出的将一个随机过程中的高峰值部分通过简化指数峰值模型的参数来进行还原的方法，在此基础上形成了非高斯类型的风压时间过程。蒋瑜[15]利用快速傅里叶变换算法，提出了一种基于幅值调制和相位重构的非高斯随机振动数值模拟方法。

经过数十年的研究，大多是从频域的角度进行板结构的振动载荷响应分析，很少从时域的角度出发进行载荷响应分析，而且目前对于非高斯随机过程的数字模拟可分为两大类：（1）根据指定的统计参数如均值、均方差、偏斜度、峭度以及功率谱密度函数来模拟非高斯随机过程；（2）根据特定的概率密度函数与功率谱密度函数对非高斯随机过程进行模拟。

本文基于二次相位调制控制激励峭度的方法进行了HASS试验随机振动载荷的数值模拟，进行薄板在HASS试验随机振动载荷下的数值响应分析，获得其应力分布及薄弱位置，为装备失效分析及合理制定HASS试验剖面奠定理论基础及依据。

图1 HASS振动载荷剖面

1 HASS振动激励载荷分析

1.1 HASS振动载荷模拟

振动筛选过程中求解每个量级对应下的时域信号，从时域着手分析求解结构动力学响应。HASS试验主要是使用一种新型的超高应力加载试验系统，在试验的过程中会产生一种不同于传统高斯分布的超高斯型随机振动信号。因此，对于HASS试验振动载荷可采用通过二次相位调制来控制激励信号峭度值的方法对超高斯随机振动信号进行模拟。图2为环境应力筛选中采用的典型随机振动激励谱。

图2 典型随机振动激励谱

在频域分析上，表示一个随机过程信号只需要有幅值信息与相位信息即可，其中幅值Ak可由公式（2）求得。但是当样本数量接近无穷时，随机过程大概表现为高斯分布时，相位φk在（-π，π）上表现为均匀分布随机数时，可对相位角φk进行调制改变，使其数值在（-π，π）上不再符合随机分布性来达到实现还原超高斯激励信号的目的。

式中：N 为正整数，φk为（-π，π）上均匀分布的独立随机相位角。

式中：Δf=（fu-fl）/N，N是采样点数。[fu-fl]是随机过程功率谱密度Sx（f）具有显著值得频率范围，fk=kΔf.

将概率密度分布不满足正态分布的随机信号统称为非高斯信号，在工程中采用峭度来描述，峭度定义如下：

具体对于高斯随机过程峭度等于零，超高斯随机过程的峭度则大于零。

在对一般性结构进行随机性运动试验时，信号的均值为零。当采集数据N足够大时，x（t）的运动过程的均值趋于零。因此，峭度的表达式为：

式中：M2，M4分别是随机信号X的二阶中心距和四阶中心距。

本文将8 Grms、20 Grms按国军标生成典型随机振动激励谱，然后采用二次相位调制控制激励峭度的方法，进行时域超高斯振动载荷模拟，并采用MATLAB编程分别模拟8 Grms、20 Grms振动应力筛选下目标峭度值（K）分别为1.9和7.9的超高斯伪随机信号。图3~6分别为8 Grms和20 Grms条件下目标峭度值为1.9和7.9的超高斯伪随机信号时域波形和幅值概率密度。通过模拟具有指定功率谱密度，峭度值为2和8的超高斯激励信号，为后面结构在超高斯激励下的响应分析计算提供数据支撑。

图3 8Grms下模拟的超高斯伪随机信号（K=1.9）

图4 8Grms下模拟的超高斯伪随机信号（K=7.9）

图5 20Grms下模拟的超高斯伪随机信号（K=1.9）

图6 20Grms下模拟的超高斯伪随机信号（K=7.9）

1.2 结构动力学有限元方程及求解

在电子产品的振动筛选试验时，将电路板简化为薄板结构，其薄板结构如图7所示受到试验台的基础加速度激励信号，结构受到基础振动时结构总位移由支座位移ug（t）和相对支座位移ui（t）两部分组成[8]，则支座加速度为d2ug（t）/dt2，取一个微元体进行分析。

图7 薄板单元网格及节点编号

平衡方程：

初始条件：

式中：ui，t和 ui，tt分别是 ui对时间 t的一阶导数和二阶导数，ρ是密度。

由虚功原理结构的平衡方程为：

将边界条件带入得：

取单元微分体的插值函数为N，节点的位移为u，则单元的位移为：

将公式代入公式，可得单元的运动微分方程（不考虑阻尼影响）：

r为基础激励影响系数向量，它的维数等于单元的自由度数，当单元自由度方向与基础加速度方向相同时，r相应的值为1，其余为0.

如果基础激励的加速度为a，则：

针对采用直接积分法进行求解。直接积分法进行求解的前提是要给定初始时的数值，它是将运动微分方程进行离散分解，由给定的初始时的位移、速度、加速度的相应表达式和载荷条件，得到后续各时间点的响应的方法。有不少的方法都是直接积分法，例如Newmark法、Wilson-θ法和中心差分法等。一般来说，对于结构动力学问题，通常采用Newmark积分法，它是一种相对稳定的方法，所求结果的稳定性很高。

Newmark积分法采用以下假设，在t~t+Δt时间区域内，则有：

式中：α1和β是按积分精度和稳定性要求而决定的参数。

Newmark方法中时间t+Δt的位移ut+Δt是通过t+Δt的运动方程求得：

将公式代入公式可得到ut，ut计算ut+Δt的公式：

2 算例分析

针对薄板进行HASS试验振动载荷分析，薄板的长为 12 cm，宽 8 cm，厚2 mm，密度 ρ=2 740 kg/m3，泊松比μ=0.33，弹性模量E=72 GPa，板两边固定，振动的方向与板垂直，振动量级为8 Grms和20 Grms，不考虑阻尼的影响。

将求出的超高斯随机信号作为振动激励，根据Newmark原理，运用MATLAB进一步分析HASS超高斯随机振动下的响应。

如图7所示，板的截面对称且两长边固定，采用正六面体单元将板分为70个节点，24个单元，由结构对称性取结构左下角1/4单元下表面进行分析，其它节点可由对称得到，表1是板上下表面1/4节点对应编号。由板的加载条件及约束条件可得，最大位移点在板非约束边中点，即4节点。图8~11是20 Grms振动应力筛选下部分节点在某筛选时间段内的总位移响应。图12~15是8 Grms振动应力筛选下部分节点在某筛选时间段内的总位移响应。

表1 板上下表面部分节点编号

由图8和图12可知，在振动筛选过程中，即4节点的位移最大，这是由于对于节点4在筛选过程中，相比于其他节点受到的约束最小，因此其振动响应位移最大。20 Grms振动应力筛选下节点的位移大于8 Grms下对应节点位移，这是由于在将振动量级模拟生成超高斯激励时，20 Grm下的模拟激励峰值大于8 Grms，进而对结构产生振动激励就越大，因此其结构响应位移大于8 Grms下对应节点位移。

图8 20Grms筛选下节点4总位移

图9 20Grms筛选下节点5总位移

图10 20Grms筛选下节点27总位移

图11 20Grms筛选下节点28总位移

图12 8Grms筛选下节点4总位移

图13 8Grms筛选下节点5总位移

图14 8Grms筛选下节点27总位移

图15 8Grms筛选下节点28总位移

图16~17是20 Grms振动应力筛选下部分节点的等效应力响应，图18~19是8 Grms振动量级下部分节点的等效应力响应。表2是20 Grms振动应力筛选下部分节点最大应力。

图16 20Grms筛选下节点2应力

图17 20Grms筛选下节点28应力

图18 8Grms筛选下节点2应力

图19 8Grms筛选下节点28应力

表2 20Grms振动量级下部分节点最大应力（MPa）

由表2和图20可知，2节点的等效应力最大，为26.418 MPa.这是由于板两长边固定约束，最大应力点位于约束边的角点处。20 Grms振动应力筛选下节点的应力大于8 Grms下对应节点应力。此外，从约束区域到薄板中间非约束区域，等效应力依次减小，而且薄板中心位置的等效应力最小。通过以上数据对比分析可得，在振动筛选过程中，振动量级越大，结构的等效应力越大。同等条件下，振动量级越大筛选效果越好。

图20 各节点等效应力变化趋势

3 结束语

本文利用二次相位调制控制激励峭度的方法进行了HASS试验随机振动载荷的数值模拟，建立了薄板结构在振动载荷条件下的动力学有限元方程，并利用MATLAB对薄板在HASS试验随机振动载荷的响应进行数值计算分析，得到以下结论：

（1）对于薄板结构，在HASS试验随机振动载荷条件下，受约束最小的位置位移最大，而受约束最大的位置等效应力最大，而且从约束区域到非约束区域的等效应力依次呈递减趋势。

（2）从不同的振动量级来看，对于同一结构，其振动量级越大，结构同等位置的等效应力越大，故其振动量级越大筛选效果越好，从而更易暴露装备中的深层缺陷，进一步提高装备的可靠性。