钟表上的数学题

文/林革

生活中有不少数学题.这些题看似简单,解题方法却独特.请看下面两道题.

【试题1】在钟表上,时针和分针每天重合多少次？

大多数人的第一感觉答案是24次.理由是一天有24小时，分针比时针转的速度要快，似乎每小时都会追上时针，即每小时重合一次，每天重合24次.

这种分析不能说完全没有道理，只是结果与实际情况有些误差.在数学计算中,要求结果准确无误.

下面从12时入手,这时分针和时针重合.时针比分针走得慢，它们经过一定的时间后会再次重合.重合的特征是什么呢?它们经过多少时间才能重合呢?这是解答此题的关键.

我们知道，时针和分针都是绕同一定点旋转.分针1小时转一周，即60分钟转360度，每分钟转6度；时针12小时转一周,即720分钟转360度，即每分钟转0.5度.当分针比时针多转一周,即多转360度时，它们就重合了.你这么思考，就把时针与分针的重合问题转化成了行程中的追及问题.

从12时开始,设经过t分钟后,时针与分针第一次重合.由已知得

一天有24小时,即24×60=1440分钟,时针与分针每隔分钟重合一次,共重合

如果你还要把一天结束时的午夜12点与第二天零点的那一次重合计算进来，就是23次.这就是正确的答案.

【试题2】一个正三角形的每一个角各有一只蚂蚁.每只蚂蚁同时朝另一只蚂蚁做直线运动，方向随机选择.问：蚂蚁不相撞的概率是多少？

这是一道生动而有趣的题.三只蚂蚁在每个角上都有两种方向可供选择，每只蚂蚁选择的方向不确定，组成的各种运动情形较为繁杂.

如果这样思考,你就没抓住问题的本质.解数学题,就要排除习惯因素的干扰,找到解决问题的突破口.

为了说明这道题所蕴含的数学思维，我们先来看下面这道趣味数学题：

一家录像厅，原门票8元一张，降价后平均每场观众增加了3倍，收入增加了1.5倍.请问门票降价多少元？

这个问题按常规思路来解答似乎缺少条件.我们不妨从最简单的情形入手,把问题简化成只有一个观众，解答过程就非常简单快捷.

假设原来平均每场有一个观众，那么降价后平均每场就有1×（1+3）=4人，收入有8元×（1+1.5）=20元.

20÷4=5（元），8-5=3.

由此可知，门票降价后的价格为5元，即门票降价3元.

由此可见，从最简单的情形入手,可以收到意想不到的效果.

类似的，我们可以解答蚂蚁不相撞的概率问题.

从整体来看，只有两种方法可以让蚂蚁避免相撞：它们全部顺时针运动或者全部逆时针运动.否则，肯定会相撞.

既然如此，我们不妨选择一只蚂蚁A作为参照标准，只要A确定了是逆时针或者顺时针运动，那么其他的蚂蚁就必须同方向运动才能避免相撞.由于蚂蚁运动的方向是随机选择的，那么第二只蚂蚁B有的概率选择与A相同的运动方向;第三只蚂蚁C也有的概率选择与A相同的运动方向.

怎么样？解答很简单吧.只是我们习惯性把问题复杂化，不自觉地给自己增加了难度.为了强化这种十分有效的极端化思维，最后向大家介绍一个有趣的数学游戏：两个人往一张普通的圆桌上轮流放一枚硬币，交替进行.规则是每一枚硬币都必须平放在桌上，而且不许重叠.谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜.现在有一个问题：有没有方法判断哪一方一定能获胜呢？答案是：选择先放的一方必获胜.有的同学会问：这是为什么呢？最简单直观的方法是，想象硬币变大，最极端的情形是硬币与圆桌一样大，那么显然先放的那个人必获胜.因为这个人放了以后，另一个人就不能再放了.这正是利用极端化原理，很快就得出了正确答案.