求生活中概率的五种方法

文 /李继龙

概率在生活中的应用很广泛，也是中考的重点.下面以生活中的概率为例，归纳求概率的五种常用方法，供你学习时参考.

例1把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡片放进不透明的盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的数字大于3的概率是______．

解析：在1,2,3,4,5中大于3的只有4,5，

点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率.用公式求概率是最常见的方法.

例2小明向如图1所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）

解析：如图1所示,连接BE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=45°，

根据直径所对的圆周角是直角得∠AEB=90°，

∴AE=BE，

图1

选B．

点评：求几何图形概率，需要熟悉图形的性质，运用整体思想、转化思想、割补思想、补形思想等求面积.这类题已成为近年中考的常见题，一般用几何图形的面积比求概率.

三、用频率估计概率

例3图2显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录钉尖向上的次数是308，所以钉尖向上的概率是0.616；

②随着试验次数的增加，钉尖向上的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计钉尖向上的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，钉尖向上的频率一定是0.620．

其中合理的是（ ）

A．①. B．②. C．①②. D．①③.

图2

解析：当投掷次数是500时，计算机记录钉尖向上的次数是308，所以此时钉尖向上的频率是：308÷500＝0.616，但钉尖向上的概率不一定是0.616.①错误.

随着实验次数的增加，钉尖向上的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计钉尖向上的概率是0.618．②正确.

若再次用计算机模拟实验，当投掷次数为1000时，钉尖向上的频率可能是0.620，不一定是0.620.③错误.

选B．

点评：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定值附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

四、用列表法求概率

例4如图3，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表法（或树形图）说明理由（纸牌用A，B，C，D表示）．

图3

解析：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的纸牌有B，C，D共3张，所以摸到中心对称图形的纸牌的概率是

（2）把摸出的两张牌的情况列表如下：

A B C D A（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（D，C）C（A，C）（B，C）D（A，D）（B，D）（C，D）

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有（A，B），（A，D），（B，A），（B，D），（D，A），（D，B）6种，

因此这个游戏公平．

点评：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果，即求出n，从中算出符合事件A的数目m，利用公式求出概率.列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.判断游戏是否公平的关键在于双方获取的概率是否相等.若游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则游戏不公平.

五、用树形图求概率

例5端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）和李庄古镇（记为D）中的一个景点去游玩.他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．

（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为______；

（2）用树形图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．

解析：（1）∵小明选择游玩的景点有A，B，C，D四种，

（2）小明和小华选择游玩的景点的树形图如图4所示：

图4

两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中都选择兴文石海B只有1种，

点评：画树形图法适用于事件涉及两个或更多元素，它能不重不漏地列出所有可能的结果.当事件分三步或三步以上时，用树形图求解比较方便.