分类讨论思想的应用

文/朱广科

分类讨论可以把一个复杂的问题拆分成若干个简单的问题，通过解决各个简单的问题，从而解决这个复杂的问题.请看下面的例子.

一、方程中的分类讨论

A.k=0. B．k≥-1或k≠0. C．k≥-1. D．k＞-1.

点评：对于含有字母系数的方程，要根据字母系数的不同取值进行讨论.

二、函数中的分类讨论

例2 已知二次函数y=x2－2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（ ）

解：y=x2－2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，当x=-1时，y取最小值，即y=1+2m=-2，解得

②若m＞2，当x=2时，y取最小值，即y=4-4m=-2，解得

③若-1≤m≤2，当x=m时，y取最小值，y=-m2=-2，解得

点评：由于不明确顶点横坐标m的取值，须根据二次函数的增减性就m的取值进行分类讨论．

三、三角形中的分类讨论

图1

图2

解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，

②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，

点评：没明确是锐角三角形还是钝角三角形，要分高AD在三角形内部和外部讨论.

四、四边形中的分类讨论

例4如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．

解：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，

如图4所示，四边形ACBD是矩形，对角线长为10.

图3

图4

图5

图6

如图5所示，AD=8，连接BC，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，

如图6所示，BD=6，由题意可得AE=6，EC=2BC=16，

点评：因直角三角形的三条边都可以是平行四边形的对角线，所以分三种情况讨论.

五、相似形中的分类讨论

例 5 在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=______时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：在相似三角形中，因为对应顶点或对应边的不确定性，须要讨论.

六、圆中的分类讨论

例6在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，-5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点的右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数经过点B，则k=______．

解：设弦AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图7，

∵⊙P与x轴相切，且P（0，-5），∴PB=PO=5，

∴OC=OP-PC=2，∴B（4，-2），

∵ 反比例函数经过点B，∴k=4×（-2）=-8；

当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8，

∴B（4，-8），∴k=4×（-8）=-32. 填-8或-32．

点评：点C可在圆心P的上方，也可在圆心P的下方，分两种情况讨论.

图7