浅谈数学中的逆向思维

（长春十一高中兴华学校 吉林长春 130102）

数学教学的重要任务之一是培养学生的思维能力，而思维能力是双向的，一般地，在数学学习中，大多运用的是正向思维。学习概念、公式、定理、法则等大多是正向思维的结果，概念、公式、定理、法则的正向应用，导致我们形成思维定势，只习惯正面思考问题，从而忽略了概念、公式等的逆向应用，因而使学生缺少了应变能力，不利于学生数学能力的培养。

逆向思维是指根据概念、原理、思维、方法及研究对象的特点，从问题相反或否定的方向思考，换一种新的角度分析解决新问题。逆向思维也叫求异思维，它是对习惯的事物或观点反过来思考的一种思维方式。

逆向思维不仅在数学中有着广泛的应用而且在对许多生活、生产中的问题进行逆向思维时往往也能闪烁出智慧的光芒。因此，平时多重视对学生逆向思维的训练，这有利于激发学习数学的兴趣，培养良好的思维品质，在开发智力，培养能力方面都具有十分重要的意义。

《全日制义务教育数学课程标准》将培养学生三大能力之一的“逻辑思维能力”改为“思维能力”虽然去掉两个字，意义却非同寻常，充分说明了人们已经意识到了逆向思维的重要性。《全日制义务教育数学课程标准》明确提出要培养和发展学生逆向思维和实践能力，并要求教师引导学生主动地进行观察、实验、猜想、推理和交流等活动，让学生获得必需的数学知识，会运用数学逆向思维去解决实际问题，使学生获得进行数学切身体验和能力[4]。《普通高中数学课程标准》（实验）的总目标分为六个方面，与过去传统的教学大纲规定的“教学目的”相比有着本质的区别，改变了传统数学教学中“重知识内容和结论，轻学习过程和方法，重知识与技能教学，轻情感、意志和价值的培养”的现象，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的逆向思维[5]。

所谓逆向思维就是从正常思维出发点的另一端逆着原方向思维，反映在逆解题中就是反向推理及逆向运算， 它是学生思维发展和掌握学习方法提高运算能力不可逾越的阶段。逆向思维的应用主要有一下几种：

1.在概念教学中，注意概念、定义的逆用，探索解题捷径

数学定义包含着两个互逆的正确命题，设计一些逆用型习题，引导学生逆用定义求解数学间题，能加深对基本要领的理解，而且常常能使解题过程显得简洁明快。

2.逆用公式、法则，提高解题技巧

小学数学中有很多的公式、法则，而且形式多变。如能对公式作适当的变形或逆用公式，不仅能使学生更牢固的掌握知识，而且能训练其运用知识的灵活性，提高解题技巧。

3.逆向联想寻求解题方法

题设条件是解题探求思路的主要依据。逆向思维是指从题设条件中去打开思路，寻求解决问题的方法。

4.逆用常规方法，开拓解题思路

所谓的常规方法，是我们习惯的顺向思考的方法，有些问题用常规方法求解十分繁难。此时若从常规方法的反面去考虑，往往能开拓思路，迅速求解。

例如：池塘水面上生长着一些浮萍，它们所占水面每天增加1倍，经过100天，整个池塘的水面长满浮萍。经过多少天池塘中的浮萍的面积为水面面积的一半？一些学生根据经验都得到答案99天，但是很少有人能够说明理由。如果这个题目利用逆向思维，就会很容易解答出来。

对于逆向思维的培养，主要提出以下几个方面：

1.注重反例的应用

重要的反例往往也会成为数学殿堂的基石，反例不仅在培养学生逆向思维能力中占重要地位，同时在改正错误观点和开拓数学新领域方面也起到了关键的作用。反例对于搞清楚一个似是而非的数学命题是常用的一种非常有效的解决办法。

2.引导学生运用逆推求解的方法解决数学问题

对于某些特定结构的应用题，可以引导学生进行逆向思考，从左后的结果出发，按照与原来相反的顺序去推求初始条件，从而探求到解题思路。

例8 100个人排成一行，从1开始往下报数，报奇数的出行，留下的人再重新报数。这样继续下去……，最后留下一个人，问这个人第一次报数时报的数是多少?

分析:如果按照正向思维的方式进行推理，过程会十分复杂。但是，如果在解这道题时，有意识地引导学生运用逆推求解的方式，就非常简捷因为，很明显:最后留下的人一定在每次报数时都是报的偶数，所以，这人第一次报的数一定是2的幂而2的6次方是64， 2的7次方是128所以，最后留下的人第一次报的数应该是64。

可以看出，利用逆向思维来思考某些数学问题的证明，可以使问题更加简化，思路更加清晰。

对于数学科目的讲授，教师往往更加注重从正向思维的角度出发，这样学生受定向思维的影响，考虑问题也倾向于从正向出发，解题中明显反映出思维的呆板性。逆向思维不仅能够加深学生对基础知识的理解，而且可以培养学生的发散思维能力，因此，在数学教学中，要尽早，有意识地培养学生的逆向思维。

当然，在数学教学过程中还会有很多地方可以应用逆向思维，只要我们数学教师认真思考，做一个有心人，将逆向思维有意识地贯穿到教学过程当中去，就会帮助学生培养逆向思维能力。数学教学的仟务并不仅仅是培养做题的机器，更重要的是培养学生的思维能力，从而提高学生的整体素质。希望我们数学教师能够在日常教学当中注意培养学生包括逆向思维能力在内的各种创造性思维的能力，为素质教育做出自己应有的贡献。