可数仿紧空间和可数中紧空间的函数刻画

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

Mack在文献[1]中证明了X为可数仿紧空间[2]当且仅当对X上的每一局部有界函数f，存在局部有界上半连续函数g使得|f|≤g；在文献[3]中，Mack证明了X为可数仿紧空间当且仅当对每一下半连续函数f＞0，存在下半连续函数g及上半连续函数h使得0＜g≤h≤f。Ohta等[4]证明了X为cb-空间当且仅当对任意递减函数列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函数列{gn∈C(X):n∈N}使得对每一n∈N，fn≤gn且gn→0。作为对这一结论的推广，Yang在文献[5]中证明了关于可数仿紧空间，可数中紧空间[6]和可数亚紧空间的一些类似结果。例如，X为可数仿紧空间当且仅当对任一递减函数列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函数列{gn∈L(X):n∈N}，使得对每一n∈N，fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收敛于0。

文中引入k-上有界函数的概念，并利用k-上有界函数给出对可数中紧空间的一个类似的等价刻画。

1 预备知识

空间X的子集族G称为局部有限族，若X中的任一点有一个开邻域仅与G中有限多个元相交；称G为紧有限族，若X的任一紧集至多与G的有限多个元相交。

定义1X称为可数仿紧空间(可数中紧空间)，若X的每一个可数开覆盖有局部有限(紧有限)开加细。

设X为拓扑空间，用0表示X上取值为0的常值函数。设{fn:n∈N}为空间X上的实值函数列，用fn→f表示{fn:n∈N}点态收敛于f。

空间X上的实值函数f称为下(上)半连续的，若对任意r∈R，集合{x∈X:f(x)＞r}({x∈X:f(x)＜r})为X的开集。若对X的任一紧集K，f在K上有最小值，则称f为k-下半连续函数。用L(X)(U(X)，KL(X))表示从X到单位闭区间[0,1]的所有下(上，k-下)半连续函数的集合，UKL(X)=U(X)∩KL(X)，C(X)为从X到单位闭区间[0,1]的所有连续函数的集合，L+(X)={h∈L(X):h＞0}。

称空间X上的实值函数f在X上上有界，若存在n∈N使得对任意x∈X，f(x)≤n。若f在X的任一紧子集K上上有界，则称f为k-上有界函数。若对任意x∈X，存在x的开邻域U及n∈N，使得对任意x'∈U，有f(x')≤n，则称f为局部上有界函数。显然上半连续函数为局部上有界函数。

设X为拓扑空间，A⊂X，用IA表示A的特征函数，即对任意x∈X，

由特征函数的定义易得：若A为X的闭集，则IA上半连续；若A为X的开集，则IA下半连续。

2 可数仿紧空间

引理1[7]X为可数仿紧空间当且仅当对X中任一递减的且交为空集的闭集列{Fn:n∈N}，存在X的递减的开集列{Un:n∈N}，使得对每一。

Yang在文献[5]中证明了X为可数仿紧空间当且仅当对任一递减函数列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函数列{gn∈L(X):n∈N}，使得对每一n∈N，fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收敛于0。定理1表明函数列{gn:n∈N}可以用两个半连续函数列代替。

定理1X为可数仿紧空间当且仅当对任一递减的函数列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函数列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N}，使得对每一n∈N，fn≤gn≤hn且hn→0。

证明设X为可数仿紧空间，{fn∈U(X):n∈N}且fn→0。对每一n,k∈N，令，则对任意k∈N，{Fnk:n∈N}为递减闭集列且。由引理1知，对每一k∈N，存在X的递减的开集列{Unk:n∈N}使得Fnk⊂Unk且。对每一n∈N，令

则gn∈L(X)，hn∈U(X)且gn≤hn。

对每一n∈N及x∈X，若fn(x)=0，则fn(x)≤gn(x)；若fn(x)＞0，则存在k∈N 使得，故，则

设x∈X，ε＞0，取k∈N 使得。由于对每一i≤k，，故存在m∈N 使得对任意n≥m，ii令m=max{mi:i≤k}，则对每一故对每一n≥m，

故hn→0。

反之，设{Fn:n∈N}为X中递减且交为空集的闭集列。对每一n∈N，令，则{fn∈U(X):n∈N}为递减函数列且fn→0。由条件知，存在函数列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N}使得对每一n∈N，fn≤gn≤hn且hn→0。对每一n∈N，令则Un为开集，Hn为闭集，且Fn⊂Un⊂Hn，因此Un⊂Hn。

设x∈X，由于hn(x)→0，故存在m∈N使得，由Hm的定义知，故。由引理1得X为可数仿紧空间。

利用定理1，可给出定理2的另一种证法。

定理2[8]X为可数仿紧空间当且仅当对每一h∈L+(X)，存在φ(h)∈L(X)及φ(h)∈U(X)，使0＜φ(h)≤φ(h)＜h。

证明设X为可数仿紧空间，h∈L+(X)。对每一n∈N，令则 {F(n,h):n∈N} 为X的递减且交为空集的闭集列。对每一n∈N，令f(n,h)=IF(n,h)，则{f(n,h)∈U(X):n∈N} 递减且f(n,h)→0。由定理1，存在函数列{g(n,h)∈L(X):n∈N}及{l(n,h)∈U(X):n∈N}使得对每一n∈N，f(n,h)≤g(n,h)≤l(n,h)且l(n,h)→0，令

则φ(h)∈L(X)，φ(h)∈U(X)且φ(h)≤φ(h)。

设x∈X，由于l(n,h)(x)→0，故存在m∈N使得l(m,h)(x)＜1，故

反之，设{Fn:n∈N}为X的递减且交为空集的闭集列。令

则h∈L+(X)。对每一n∈N，令

则Un为开集，Gn为闭集且Un⊂Gn，故Un⊂Gn。由于φ(h)＞0，故，从而。设x∈Fn，令k=max{n∈N:x∈Fn}，则n≤k，故

故x∈Un，从而Fn⊂Un。由引理1知，X为可数仿紧空间。

3 可数中紧空间

引理2[9]X为可数中紧空间当且仅当对X的任意递减且交为空集的闭集列{Fn:n∈N}，存在X的递减开集列{Un:n∈N} 使得对每一n∈N，Fn⊂Un且对X的任一紧集K，存在m∈N使得K⋂Um=∅。

定理3对空间X，下列等价：

(a)X为可数中紧空间。

(b)对X上的每一局部上有界函数f，存在下半连续且k-上有界函数φ(f)，使得f≤φ(f)。

(c)对X上的每一上半连续函数f，存在下半连续且k-上有界函数φ(f)，使得f≤φ(f)。

(d)对X上的每一上半连续函数f，存在下半连续函数φ(f)及k-上有界函数φ(f)，使得f≤φ(f)≤φ(f)。

证明(a)⇒(b)设X为可数中紧空间，对每一局部上有界函数f及n∈N，令则{Fn:n∈N} 为X的递减且交为空集的闭集列。由引理2，存在递减开集列{Un:n∈N} 使得对每一n∈N，Fn⊂Un且对任一紧集K，存在m∈N使得K⋂Um=∅。设U0=X。对每一x∈X，令nx=min{n∈N:x∉Un}，φ(f)(x)=nx。设x∈X，由nx的定义知x∉Unx⊃Fnx，故f(x)≤nx=φ(f)(x)。

设x∈X，r∈R 且φ(f)(x)＞r。令Ox=Unx-1，则Ox为x的开邻域。若x'∈Ox，则nx'＞nx-1，故φ(f)(x')=nx'≥nx=φ(f)(x)＞r，表明Ox⊂{x∈X:φ(f)(x)＞r}，从而φ(f)下半连续。

设K为X的紧集，则存在m∈N使得K⋂Um=∅，则对每一x∈K，x∉Um。由nx的定义得φ(f)(x)=nx≤m，因此φ(f)在K上上有界。

(b)⇒(c)显然，因为上半连续函数为局部上有界函数。

(c)⇒ (d)对每一上半连续函数f，令φ(f)=φ(f)。

(d)⇒ (a)设{Fn:n∈N} 为X的递减且交为空集的闭集列。对每一x∈X，令nx=min{n∈N:x∉Fn}，f(x)=nx。下说明f上半连续。

设x∈X，r∈R 且f(x)＜r。令Ox=XFnx，则Ox为x的开邻域。对任意x'∈Ox，由nx'的定义知nx'≤nx。因此f(x')=nx'≤nx=f(x)＜r，这表明Ox⊂{x∈X:f(x)＞r}，因此f上半连续。

设φ(f)，φ(f)为满足条件(d)的函数。对每一n∈N，令Un={x∈X:φ(f)(x)＞n} ，则{Un:n∈N} 是X的递减的开集列。设n∈N，若x∈Fn，则n+1≤nx=f(x)≤φ(f)(x)，故x∈Un，从而Fn⊂Un。设K为X的紧集，由于φ(f)在K上上有界，故存在m∈N使得对任意x∈K，φ(f)(x)≤m，故φ(f)(x)≤φ(f)(x)≤m，于是K⋂Um=∅。由引理2知X为可数中紧空间。

定理4表明，定理3(b)(c)(d)中的k-上有界函数可换为k-上半连续函数。

定理4对空间X，下列等价：

(a)X为可数中紧空间。

(b)对每一局部上有界函数f，存在下半连续且k-上半连续函数φ(f)，得f≤φ(f)。

(c)对每一上半连续函数f，存在下半连续且k-上半连续函数φ(f)，得f≤φ(f)。

(d)对每一上半连续函数f，存在下半连续函数φ(f)且k-上半连续函数φ(f)，使得f≤φ(f)≤φ(f)。

证明(a)⇒(b)设X为可数中紧空间，对每一局部上有界函数f，设φ(f)为定理3的(a)⇒(b)证明过程中定义的函数，则只需说明φ(f)k-上半连续。设K为X的紧集，则存在n∈N使得K⋂Un=∅。令m=min{n∈N:K⋂Un=∅ }，则。取，则且对任意x∈K，nx≤m。因此，所以φ(f)k-上半连续。

(b)⇒(c)及(c)⇒(d)显然。

(d)⇒(a)设(d)成立，由于k-上半连续函数为k-上有界函数，由定理3(d)⇒(a)知X为可数中紧空间。

定理5对空间X，下列等价

(a)X为可数中紧空间。

(b)对任意h∈L+(X)，存在φ(h)∈UKL(X)使得 0＜φ(h)＜h[9]。

(c)对任意h∈L+(X)，存在φ(h)∈U(X)及φ(h)∈KL(X)使得 0＜φ(h)≤φ(h)＜h。

证明(a)⇒(b)在文献[9]中已证，此处给出另一种证明方法。

设X为可数中紧空间，对每一h∈L+(X)及n∈N，令，则{F(n,h):n∈N} 为X的递减且交为空集的闭集列。由引理2，存在X的递减开集列{U(n,h):n∈N} 使得对每一n∈N，F(n,h)⊂U(n,h)且对X的任一紧集K，存在m∈N使得K⋂U(m,h)=∅。令

则φ(h)∈U(X)。对每一x∈X，存在m∈N 使得x∉U(m,h)。令k=min{n∈N:x∉U(n,h)}，则对任意n≥k，x∉U(n,h)且对每一n＜k，x∈U(n,h)。由于x∉U(k,h)⊃F(k,h)，故，因此

设K为X的紧集，则存在m∈N使得K⋂U(m,h)=∅。令k=min{n∈N:K⋂U(n,h)=∅ }，则K⋂U(k-1,h)≠∅ 且对每一n≥k，K⋂U(n,h)=∅。取x0∈K⋂U(k-1,h)，则对每一n≥k，x0∉U(n,h)且对每一n＜k，x0∈U(n,h)，从而。对每一x∈K，

从而φ(h)∈KL(X)。

(b)⇒(c)显然。

(c)⇒(a)设{Fn:n∈N} 为X的递减且交为空集的闭集列，令

则h∈L+(X)。对每一n∈N，令，则Un为开集。设x∈Fn，令k=max{n∈N:x∈Fn}，则n≤k，从而

表明x∈Un故Fn⊂Un。设K为X的紧集，由于φ(h)∈KL(X)，故存在x0∈K使得对任意x∈K，φ(h)(x)≥φ(h)(x0)。由于φ(h)(x0)＞0，故存在m∈N，使得，故对任意x∈K，有，表明K⋂U(m,h)=∅。由引理2知X为可数中紧空间。