线性代数中的二次型应用

刘媛媛

(陇南师范高等专科学校 初等教育学院，甘肃 陇南 742500)

从代数学的观点看，化标准型过程就是将变量的线性变化化简成一个二次齐次多项式，使它只含有平方项.这样一个问题，在实际问题中会经常遇到，下面介绍它的基本性质.

在解析几何中，我们看到，中心是原点的二次有心曲线方程是

ax2+bxy+cy2=d.

可把二次有心曲线方程化为只含有平方项的标准形式a′x′2+c′y′2=d，从平方项的标准形式，我们很容易判断曲线的类型，进而可以研究曲线的性质.

基于上面的结果，我们试想能否把空间解析几何中的二次曲面方程

也化为只含有平方项的标准形式，进而来研究曲面的性质.

二次曲线ax2+bxy+cy2=d的左边是一个二次齐次多项式，化标准型过程就是通过变量的线性变换为二次齐次多项式，即只含有平方项的标准形式[1].

一般地，F是一个数域，F中n个变量x1,x2,…,xn的二次型表达式为

1 用代数方法求椭圆(球)面(体)积

任意给出一个二元不等式

ax2+2b1xy+cy2+2d1x+2e1y≤h,

(1)

当h>0时，可以化为

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey≤1 ,

(2)

2 二次型在二维求解平面图形中的应用

以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简方程4x2-4xy+y2+6x-8y+3 =0，写出相应的坐标变换公式.下面我们来详解.

故曲线为无心曲线，特征方程为λ2-5λ=0，解之得λ1=5，λ2=0.

由λ1确定的非渐近主方向为x1y1=-21， 由λ2确定的渐近主方向为x2y2=12.

由于F1(x,y)=4x-2y+3，F2(x,y)=-2x+y-4，则λ1确定的唯一主直径为2x-y+2=0，将它取为O′x′轴，由

2x-y+2=0,4x2-4xy+y2+6x-8y+3=0 ,

从而有正变换公式[3]

代入原方程并整理得

同时

3 二次型在三维求解立体图形中的应用

解：因为a1a2+b1b2=0，所以直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0互相垂直，分别取为oy轴与ox轴，得坐标变换公式为

其中，ai,bi(i=1,2)不全为零[4].

式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得

由

a1a2+b1b2=0,

则

a1=γb2,b1=-γa2，

代入得

γ2x′2+y′2=1,