固体激光器中热焦距的数值计算及测量

王垚廷，李 萍，李晋惠，史延新

(西安工业大学 理学院，西安 710021)

20世纪60年代激光器问世以来，热效应始终伴随其发展历程，尤其是固体激光器，热效应已成为其性能指标进一步提高的关键影响因素.固体激光器系统的热效应包括热透镜效应[1]、热致衍射损耗[2]、热退偏[1]及热损伤[3].热效应可以减弱或补偿，但难以根除，因此热效应仍需进一步研究.任何一种热效应的研究均离不开源自固体激光器系统的热传导方程的求解，然而目前的研究水平仍得不到该方程的精确解析解，从而限制了热效应的深入研究.通过对热传导方程参数进行限制，可以得到近似的解析解.例如：侧面泵浦的固体激光器中，通过泵浦光均匀分布近似[1]，可以得到解析解；端面泵浦的固体激光器中，通过忽略激光介质轴向散热[4]，或者将泵浦光分布做“顶端帽状”光束近似[3]，也可以得到近似的解析解.然而这些解析解仅仅在温度变化趋势方面得到实验验证，在具体量值方面和实验数据相差较远.数值计算的发展为复杂的数学物理方程求解提供了数值模拟方法，因此可以对热传导方程进行数值求解，且求解方法不尽相同，各具特色，大都基于复杂的有限元法和迭代法.本文采用偏微分方程(Partial Differential Equation，PDE)工具箱[5]，对二极管端面泵浦的固体激光器系统的热传导方程进行了求解，并对热透镜焦距进行了数值模拟，理论模拟结果和实验测量结果相一致.

1 理论推导

针对二极管端面泵浦的固体激光器而言，由于泵浦光、激光介质以及谐振腔均为轴对称形状，因此热传导方程可以简化成柱坐标系状态下的轴对称形式[6]，即

(1)

式中：r、z分别为激光介质中沿径向和轴向的变量；T(r，z)为激光介质中温度分布；Kc为介质的热传导系数；q(r,z)为介质中热源分布函数并表示为

(2)

式中：Pp为泵浦功率；x为泵浦功率转化成热量的百分比；a为激光介质对泵浦光的吸收系数；ωpa为平均泵浦光斑半径.

激光介质内部温度的不均匀分布会导致折射率的不均匀分布，进而导致光波通过激光介质产生相位差Δφf(r)并表示为[4]

(3)

式中：l为激光介质长度；l为激光波长；dn/dT为热光系数；T(rb)为边界条件；rb为激光介质半径.

相对光波通过焦距为f的薄凸透镜，其径向相位差ΔφL(r)表示为[4]

(4)

因此，激光介质内部温度的不均匀分布最终导致了透镜效应，即热透镜.由式(4)可以看出，热透镜效应只和径向变量的二次方相关，因此将式(3)进行径向变量r级数展开后只取其二次项.比较式(3)和式(4)，其热焦距ft可以表示为

(5)

其中下标S为积分结果中径向变量r的二次项，即实际中只取积分结果中的二次项.

PDE工具箱为Matlab计算软件自带的数值求解偏微分方程的实用工具，求解原理为有限元法，可以对物理学中常见的椭圆型、抛物型及双曲型等偏微分方程进行求解.式(1)为椭圆型偏微分方程，因此可以用PDE工具箱对激光介质内部温度分布进行数值求解，并按照式(3)～(5)的过程对热焦距进行数值模拟.

2 测量结果及分析

由于激光介质内温度分布不均匀而产生类似于透镜的作用，即热透镜效应，且热透镜焦距会随着泵浦功率的变化而变化.热透镜效应关系着激光器的运转稳定性，对激光谐振腔的设计至关重要，因此实际中必须对热焦距进行测量.常用的热透镜焦距测量方法有探测光束法[7]和平面平行谐振腔法[8]等.探测光束法指利用扩束准直的探测光打入有泵浦光的激光介质中，然后测量光聚焦位置.但是对于端面泵浦的固体激光器，探测光的打入非常困难，测量极其不方便.平面平行谐振腔法是利用谐振腔的临界稳定性条件测量有效的热透镜焦距，此方法简单可靠.本文将采用平面平行谐振腔法对热焦距进行测量.实验装置如图1所示，图1中泵浦源为波长808 nm的光纤耦合半导体激光器(LD)，输出激光经准直聚焦透镜组聚焦到激光介质Nd：YVO4晶体中.激光谐振腔由平面镜M1和平面镜M2组成，其中M1到激光介质距离为L1，M2到激光介质距离为L2，实验中要求L2≫ L1.波长为1 064 nm的输出激光通过激光功率计测量其功率值.实验中，若谐振腔运转在稳区范围内，则输出功率随泵浦功率线性增加；相反，若随着泵浦功率增加，输出功率突然下降，或者线性增加效果明显减弱，该泵浦功率点为谐振腔的临界状态，此时的腔长L2和热焦距值相同.

图1 实验装置示意图

基于实验装置中各相关参数，结合PDE工具箱，可以对式(1)进行数值求解.如图2所示，数值模拟了不同泵浦功率Pp条件下，激光介质内部温度分布的三维图.由图2可以看出，随着泵浦功率增加，介质内部温度整体升高.沿激光介质轴向中心，温度呈指数函数衰减；沿径向，温度呈多项式函数分布.

根据温度分布的数值计算结果，结合式(3)进行相位差的数值积分，然后将数值积分结果做径向变量r的多项式拟合，拟合出的二次项系数即为热焦距相关项.由式(1)和式(2)可知，温度分布函数T(r,z)作为微分方程的原函数，相对r变量其中只含常数项和r的偶数次方项，另外，多次实际拟合表明拟合到6次方以上和拟合到6次方无明显区别.因此，本文拟合的多项式函数表达式为

Δφ(r)=a+br2+cr4+dr6

(6)

式中：a，b，c，d分别为拟合系数，将其中的二次项

br2代入式(5)便可得到热焦距的数值计算结果.通过此方法计算得到热焦距值ft和泵浦功率Pp关系如图3中实线所示，由图3可以看出，热焦距值和泵浦功率呈反比例函数关系.计算过程中用到的相关参数值分别为：α= 4.1 cm-1；rb=0.15 cm；ωpa=0.058 cm；λ= 1 064 nm；l=1.5 cm；Kc=0.05 W·cm-1·K-1；dn/dT=3.0×10-6K-1；T(rb)=300 K.作为比较，实验测量的热焦距值[9]如图2中方点所示，可以看出实验测量结果和数值模拟结果一致，说明该数值模拟方法正确合理.

图3 热焦距布和泵浦功率关系图

3 结 论

1) 对端面泵浦固体激光介质的热传导方程进行了数值求解，结果表明激光介质中温度沿径向呈多次项函数分布，沿轴向呈指数衰减函数分布.

2) 以热传导方程数值求解为基础对热焦距进行了数值模拟，模拟结果证明激光介质热焦距和泵浦功率呈反比例关系，且该结果得到了实验验证.