具有Dinosaur反应项的捕食模型共存解

冯孝周，史柯南，徐 敏

(1.西安工业大学 理学院，西安 710021； 2.陕西航天机电环境工程设计院有限责任公司，西安 710062)

种群动力学是生物数学的一个重要的分支学科,他主要通过对所研究的生态学问题进行大量的实验,并借助数学方法,建立微积分方程或者差分方程形式的数学模型,来研究生态系统中相互作用的物种长期演变的规律.Lotka-Votlerra模型[1-2]是种群动力学研究的核心内容,种群动力学理论就是基于Lotka-Volterra系统的研究建立起来的.典型的具有扩散项的两种群Lotka-Volterra模型为

在一般反应扩散系统中,人们只关心种群随机移动所产生的扩散[3-4].但在现实的某些生态系统中,种群间的相互影响较为复杂,例如为了模拟种群之间的转化关系,许多学者对Lotka-Volterra模型引入反应函数，从而使得模型更加贴近现实或各种特殊环境[5-6].这些反应函数被学者们所发现并提出.例如学者们分别从不同角度研究了带有以下反应函数的模型:

但是以上的反应函数都是单调的,并且没有考虑捕食者之间的相互干涉.近十几年，一些非单调的反应函数相继被提出并研究如:u2/(a+bu+u2)(Mondon-Haldane)、u/(a+u2)(Holling-type VI).关于此类模型的研究已经取得了许多有意义的结果,参见文献[7-9].

文中主要研究一类具有非单调(Dinosaur)反应项的捕食-食饵模型在第一类边界条件下的共存解的存在与不存在的充分与必要条件，模型具体形式为

(1)

其中Ω为Rn中具有光滑边界的有界开区域，参数a,b,c,d,k均为正常数，b,d表示最大吸收率，k表示食物的饱和率.此模型有重要的现实意义，随着环境的变化，浮游植物越来越受到人们的关注，本模型是一类用来研究浮游植物行为的重要模型.方程的反应项ue-ku是非单调的即

此反应函数被生物学家叫做Dinosaur反应项，它比之前的Lvlev反应项(h(1-e-ku))能更好的解释当食饵的数量变大时，它们集中在一起来抵御捕食者的捕食，从而达到更好的防御或伪装自己的目的，更多的生物意义详见文献[10].许多学者都是研究物种均匀分布的情况，从而得到此模型的常微形式，而对于物种分布不均匀的情况，得到此模型的偏微形式.此模型正解的存在性已经被广泛研究，但是关于正解(共存解)的性质研究的比较少；本文主要研究正解的一些性质.

主要讨论模型(1)的平衡态方程的共存解与不存在性，其表达式为

(2)

拟利用比较原理与最值原理给出模型的先验估计，利用不动点指标理论，得到具有Dinosaur反应项的捕食模型平衡态解存在的充分条件与必要条件.利用数值模拟的方法研究一维方程的平衡态解，验证理论结果的正确性，即方程组的解可视化.

1 先验估计及引理

文中利用比较原理与最值原理给出模型的先验估计，并且运用Leray-Schauder度理论来计算式(2)的平凡解与半平凡解处的不动点指标数.

令q(x)∈L∞,k>0定义以下问题的主特征值为λ1.k(q(x))-Δφ+q(x)φ=λφ,x∈∂Ω,φ=0.

根据文献[11]知当q1(x)≤q2(x)并且q1(x)≠q2(x)时，有λ1.k(q1(x))<λ1.k(q2(x)).为了方便，把特征值λ1.k(0)记为λ1.k.记r(T)是Banach空间上的线性算子T的谱半径.

引理1[2]令q(x)∈C1,P为正常数使得∀x∈Ω,-q(x)+P>0.那么以下结论成立

(1)λ1(q(x))<0⟹r[(-Δ+P)-1(-q(x)+P)]>1

(2)λ1(q(x)))>0⟹r[(-Δ+P)-1(-q(x)+P)]<1

(3)λ1(q(x)))=0⟹r[(-Δ+P)-1(-q(x)+P)]=1

设E是一个Banach空间,定义

Wy={x∈E|y+γx∈W,γ>0},

E=Sy⊕Xy,Q为E到xy的映射[12].根据文献[3]的定理2.1和定理2.2可得以下引理.

引理2 若T在y点的Frechet导算子T′(y)在Wy上没有非零不动点,则indexWy(T′,y)存在,且下面结论成立：

(1) 若Q∘T′(y)存在大于1的特征值,则indexWy(T′,y)=0,

(2) 若Q∘T′(y)没有大于或等于1的特征值,则indexWy(T′,y)=indexSy(T′(y),0).

利用极值原理和上下解方法很容易得到式(2)正解的一个先验估计.

引理3 式(1)的任何共存解(u,v)满足以下先验估计

如果ρ>λ1.k，方程

-Δθ=θ(ρ-θ),θ=0,x∈∂Ω

有唯一解记为θρ.当a>λ1时，式(1)有半平凡解(θa,0).当c>λ1时，式(1)有半平凡解(0,θc).为了计算不动点指标，下面定义一些记号：

W:=K⊕K，

D:={(u,v)∈E:u≤a+1,

D′:=(intD)∩W.

定义正紧算子

F(u,v)=(-Δ+p)-1(u(a-u-bve-ku)+Pu

v(c-v+due-ku)+Pu)，

其中P是充分大的正数，满足

P>max{a+b(c+d/ke),c+d/ke}.

假设(0,0),(θa,0),(0,θc)是F的孤立零点，则indexw(F,(0,0)),indexw(F,(θa,0)),indexw(F,(0,θc))都是有意义的.

对算子F线性化，结合参考文献[8-10],类似文献[8]中的引理2.3与2.4,文中可以直接得到引理4和5.

引理4 如果a>λ1,

(1) indexw(F,D′)=1；

(2) indexw(F,(0,0))=0；

(3)如果c>λ1(-dθae-kθa)，那么indexw(F,(θa,0))=0；

(4)如果c<λ1(-dθae-kθa)，那么indexw(F,(θa,0))=1.

引理5 如果c>λ1

(1)如果a>λ1(bθc)，那么

indexw(F,(0,θc))=0；

(2)如果a<λ1(bθc)，那么

indexw(F,(0,θc))=1.

2 平衡解的共存性

结合引理4和5的结论，运用Leray-Schauder度理论及不动点指标可加性来讨论式(2)正解存在的条件和不存在的条件.

定理1 (i)若c>λ1，a>λ1(bθc)，则式(2)至少有一个共存解.

(ii)若c<λ1,则式(2)存在共存解当且仅当a>λ1,且c>λ1(-dθae-kθa).

证明(i)根据引理4和5及指标可加性知

indexw(F,D′)-indexw(F,(0,0))-

indexw(F,(θa,0))-indexw(F,(0,θc))=1

因此，式(2)至少有一个共存解.

(ii)若c<λ1,则式(2)没有形如(0,v)(v>0)的解.若a>λ1,且c>λ1(-dθae-kθa)，注意到c<λ1,由引理5知indexw(F,D′)+indexw(F,(0,0))-indexw(F,(θa,0))=1.

因此，式(2)至少有一个正解.

反之，假设(u,v)是式(2)的一个正解，则a>λ1，u<θa.由于(u,v)满足-Δv=v(c-v+due-ku),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω，从而0=λ1(-c+v-due-ku)>λ1(-c-dθae-kθa).

定理2 (i) 若a≤λ1，则式(2)没有共存解，如果a≤λ1并且c≤λ1，那么式(2)没有非负非零解.

(ii)若c≤λ1，且式(2)存在共存解，则

a>λ1，c+d/ke>λ1.

(iii)若c>λ1，且式(2)存在共存解，则

a>λ1(bθce-kθa).

证明(i)假设(u,v)是式(2)的一个正解,则(u,v)满足

-Δu=u(a-u-bve-ku)≤u(a-u),

x∈Ω,u=0,x∈∂Ω

因此可知a=λ1(u+bve-ku),由特征值的比较原理可知a>λ1,与已知条件矛盾.

假设(u,v)是式(2)的非负非零解,只需说明其中一个分量为零的情况.

若u≡0,v≡0,则a>λ1与已知条件矛盾,

同理若v≡0,u≡0,则c>λ1同样与已知条件矛盾.

(ii)假设(u,v)是式(2)的一个正解,则说明a>λ1，且正半平凡解θa存在.

由于-Δu=u(a-u-bve-ku)≤u(a-u),

x∈Ω,u=0,x∈∂Ω，u是式(2)的一个下届.

由θa的唯一性知，u<θa.从而，由于v满足

-Δv=v(c-v+due-ku),

x∈Ω,u=0,x∈∂Ω，

有0=λ1(-c+v-bve-ku)>λ1(-c-d/ke),

故(ii)得证.

(iii)假设(u,v)是式(2)的一个正解,则由(ii)知，θa存在且u≤θa.类似地，题设c>λ1可以推出正解θc是存在的，θc≤v.类似于(i)地证明，由于当u=θa,v=θc时，bve-ku最小.故

a=λ1(u+bve-ku)>λ1(bθce-kθa).

下面利用椭圆方程的比较原来定理给出式(2)无正解的充分条件.

定理3 如果满足下面任一条件，那么式(2)没有正解

(i)b≥eka且a≤c；

(ii)b

证明(i)假设式(2)存在共存解(u,v)，那么当b≥eka且a≤c时，有

0=λ1,0(-a+u+bve-ku)

≥λ1,0(-c+v-due-ku-v+bve-ku+u+due-ku)

≥λ1,0[-c+v-due-ku-(1-be-ku)v]

≥λ1,0(-c+v-due-ku),

因此产生矛盾.

(ii)假设式(2)存在共存解(u,v)，那么当b

同样推出矛盾，因此定理得证.

3 数值模拟

运用Matlab软件对式(2)进行数值模拟.为了研究方便且不失一般性，考查平衡态方程的正解在一维情况下的数值解图像.通过数值计算的得到图像可从直观验证文中定理的正确性.式(2)对应的一维系统形式为

(3)

根据定理1和定理2的结果，对式(3)的平衡态方程中的参数分别取值为：b=4,d=5,k=1,参数a和c在定理1-2的结论取值范围内取值.如果食饵的最大增长率a>λ1，则当捕食者的最大增长率适当大时，a>λ1(bθc)时，两物种u和v可以共存，具体的解共存性如图1所示.数值模拟表明，随着a的增大，捕食者v的浓度增大，食饵u的浓度也增大，从生物意义上讲，食饵的最大增长率a的增加会使系统在单位时间内提供更多的食饵，从而增强捕食-食饵系统的物种数量.图1(a)～(d)是捕食者与食饵是共存的， 而图1(e)～(f)是非共存的.数值模拟的结果表明，与定理1和2的结果相一致，也与该模型的生物意义完全吻合.

图1 u和v的共存解随参数变化关系

4 结 论

文中主要研究了一类具有Dinosaur反应项的捕食模型在第一类边界条件下平衡态解的存在性问题.利用比较原理与不动点指标理论，研究了模型中参数在不同取值范围变化对系统的共存解存在性的影响，得到了具有Dinosaur反应项的捕食模型平衡态方程的共存解的存在充分条件与必要条件.利用数值模拟的方法研究了捕食系统对应的一维方程的平衡态解的变化规律，验证了理论结果的正确性，也实现了方程组解的可视化.从而阐明了此类具有非单调Dinosaur反应项的捕食模型中参数满足一定的条件时，两种浮游生物可以产生共同生存的生物现象.