谈谈构造法的应用

☉江苏省江阴市要塞中学 陈 舟

数学学科是我们高中生必须要重点学习的科目之一，并且在高考中具有十分重要的地位，对我们最终的高考成绩有着举足轻重的作用.解决数学问题需要同学们具有足够的分析能力、想象能力、思考能力和计算能力，在这个基础上，如果我们还能够掌握一定的解题方法，如“构造法”，就能够更加快速地解决一些较为棘手的数学问题.

一、构造法在高中数学学习中的价值

学习高中数学对于很多同学来说都是很困难的.故而为了有效提高我们在考试中的解题速度和准确程度，大家一定要掌握一定的解题技巧和方法，这有助于我们在考试中有好的发挥.构造法在高中阶段的数学问题中具有十分重要的作用和价值.构造法在高中阶段的解题过程中，最重要的作用就是能够将具有实际作用的“未知条件”转化为能够进行计算、推理的“已知条件”，也就是一种类似于化归思想的解题方法.数学中的数和形是两种相辅相成、共同作用且不可分割的两部分，在解决数学问题的过程中，利用构造法解决问题能够将抽象的数学问题转变为更加直观的图形、数学关系等，将已知量和未知量更加准确的、直接的展现出来，构造法不仅可以利用这种数形结合的方法进行解题，还能够借助数学过程中其他的一些方法，例如向量、不等式、函数等等进行解题，通过构造向量、函数或是方程组等等，解答数学问题，帮助我们能够更加有效地解题.

构造法在高中阶段的数学学习过程中，是我们必须要掌握的一个学习方法，它帮助我们能够多角度、多方面地进行思考，提高我们的数学成绩.从基本的构造法来说，最常使用的是构造一些辅助函数法、构造图形法、构造数列法、构造方程法、向量法等，这些内容都是高中阶段十分重要的数学知识，常常作为分值较高的综合题目在考试中出现.方程、不等式等对于我们来说是十分熟悉的，因为我们从小学数学学习中就接触到了方程，将抽象的数学题目转变为与方程、不等式有关的题目能够更好地帮助我们找到题目的切入点.在利用构造法解决数学问题的时候，我们一定要深入的分析题目给出的数量关系、结构特点等等，找到各个已知量、未知量之间的关系，让数学问题变得更加具体和简单.

二、构造法在高中数学学习中的应用

（一）构造法在不等式中的应用

不等式的构造对于综合类型的数学题目来说具有十分重要的作用，尤其是在难度最高的圆锥曲线的学习过程中，我们通过构造不等式，可以更加具有针对性的解决问题.多数情况下，不等式法是一个较为直接、简便的方法.当拿到一个可以利用不等式解决的数学问题时，我们先要分析题目中要考察的知识点，然后再根据题目给出的实际条件进行分析，找到其中的等量条件，从而挖掘出题目中蕴含的隐藏信息.例如，已知直线L经过了一个定点，P的坐标为（0，3），并且这条直线L与椭圆相交于两点，分别为M、N，已知椭圆表达式为4x2+9y2=36，求线段MP与PN的比值的取值范围.这一题是较为开放的题目，计算取值范围的题目对于我们来说难度较高，要想利用构造不等式的方法进行解题，我们首先就要对题目给出的信息进行分析.我们可以得到，这一类求得取值范围的题目通过不等式的构造方法首先要考虑带入判别式的取值以及具体的判别式的设计，我们能够确定的第一个不等式是利用判别式的非负性得到的，假设线段MP与PN的比值为K，首先K的值一定是大于等于0的.我们可以列出第一个表达式，因为该直线经过点P（0，3）即可得到该直线L的表达式为：y=kx+3，然后我们可以将这一个表达式与椭圆的表达式：4x2+9y2=36联立，得到一个表达式：（9k2+4）x2+54kx+45=0，通过这个一元二次方程解答得出答案.除了构造不等式的方法之外，对于这种求解取值范围的题目，我们还可以利用函数的性质、均值不等式等数学方法进行尝试，尤其是在与圆锥曲线有关的题目中，利用构造法解决问题能够大大提高我们的解题速度.

（二）构造法在方程中的应用

方程对于我们来说并不陌生，甚至有一种亲切的感觉.所谓的方程，就是一些含有未知数的等式，方程解出得到的值，也就是这些未知数的答案.在一些较难的数学问题中，隐藏着许多未知的条件，这个时候为了能够更好的理清楚我们解题的思路，避免进行逆向思维，我们就可以采取列方程的方法，将一些未知的数据用符号表示，然后将其套入已知的数学公式中，能够在很大程度上简化我们的运算步骤，变复杂为简单.在大部分的情况下，我们只需要运用初中的知识就能够构造出一个完整的方程.构造方程便于我们更好地解决问题，开拓思路，锻炼我们的综合解题能力.例如，求证等式：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0中出现的三个未知数：m、x、n是一个等差数列.在初次看到这个问题时，我们分析题目能够发现，如果按照题目的思路，从正面进行如突破是很难找到切入点的，因此我们就可以利用构造方程的方式进行解决.利用求根公式的未知数代入，我们可以构造一个方程：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，我们可以设这个等式为w，即在这道题中w=0.这样这个方程就变成了包含一个未知量的一元二次方程，再根据韦达定理，我们能够很轻松地得到一个关系等式：m+n=2x，这符合等差定数列的定理，即可证明m、x、n是等差数列.从这道题中，我们可以看出，即使不从正面解答出题目中各个未知量的实际值，仅通过构造方程的形式，将未知量变为已知量，添加新的未知量我们就能用更少的时间，得出题目需要的结论.

（三）构造法在几何中的应用

几何图形可以说是数学学习过程中最吸引我们、最具有视觉效果的部分，几何图形能够十分直观地表达出各个数据之间的关系，利用几何图形，我们也能够把其他的数学符号、关系等简单地表达出来，在几何图形中应用构造法能够将数学问题变得更加直观、具体.例如，在进行一些不等式的证明时：已知0＜n＜m，试着证明（m2-n2）+（2mn-n2）＞m2.我们就能够构建几何图形，将题目中给出的条件转变成一个直角三角形，因为题目中的条件：与直角三角形三边的关系类似，我们就可以将这个不等式中的三个部分：m2-n2、2mn-n2、m2套入到直角三角形的关系中来.构造一个简单的直角三角形MNO，MN长度为m，NO长度为n，角O的大小为90度.这样一来，我们的思路就变得非常清晰，只需要通过直角三角形的特殊性质就能够验证，将十分抽象复杂的不等式问题转变为一个直观的几何图形问题，很好的将数形结合落实到位，综合地利用了多方面的知识高效的解决数学问题.同时，利用这样巧妙的方法解决问题也能够在很大程度上提高我们的自信心，更好地备战高考.

构造法是一种较为常见的具有创造性的解题方法，我们可以充分利用高中学习过的知识，如数列、几何、方程、函数等进行综合的应用.在日常的练习过程中我们要开拓思路，探究构造法的多角度解题思路，培养自己的创造性和灵活性，增强知识的综合运用能力，确保我们能够在考试中熟练地运用构造法解决数学问题，这对于我们数学学科的学习具有十分重要的作用.J