合并有风险，拆分须谨慎——再探含有“且”与“或”的命题

☉陕西省榆林中学 高 非

在数学中，我们把“且”与“或”称为逻辑联结词，含有逻辑联结词的命题叫复合命题，不含逻辑联结词的命题叫简单命题.如果仅从字面上区分，难免会出现错误.我们知道，只有当“且”与“或”联结的是两个命题时，它才是逻辑联结词，相应的命题才是复合命题，而简单命题是逻辑推理中最基本的单位，是不可再分割的整体.因此，在具体作出判断时，必须要深刻理解命题的含义，抓住其本质特征.事实上在常用逻辑用语的教学中，不少学生甚至教师经常对含有“且”与“或”的命题困惑不已，尤其在一些教辅资料中经常会出现此类错误，很容易误导学生.为此，笔者不揣浅陋，对此类命题进行了比较全面的梳理，并发现了一些规律性的结论.

一、规律总结

首先，看一组命题：

1.菱形对角线互相垂直且平分；

2.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

3.能被5整除的整数末位数字是0或5；

4.末位数字是0或5的整数能被5整除.

一般来说，含有“且”与“或”的命题，从陈述命题语句的结构形式看，无非是上面四种类型，即：“S是M且N”“M且N是S”“S是M或N”“M或N是S”，以下逐一分析.

结论1 结构形式为“S是M且N”的命题是复合命题

命题1“菱形对角线互相垂直且平分”，结构形式为“S是M且N”，是复合命题，因为可“拆分”为两个简单命题，即命题p：菱形对角线互相垂直；命题q：菱形对角线互相平分.反过来由命题p、q构成新命题p且q：菱形对角线互相垂直且菱形对角线互相平分.按照语言的表达习惯，可“合并”为：菱形对角线互相垂直且平分.类似复合命题如：

（1）三角形中位线平行于底边且等于底边的一半；

（2）若不等式x（x-1）2＞0成立，则有x＞0且x≠1；

（3）若可导函数f（x）在x0处有极值，则f′（x0）=0且f′（x）在x0处左右异号.

它们既可“拆分”为两个简单命题，同时这两个简单命题也可“合并”为如上形式的复合命题.

若将命题1改为：菱形对角线互相垂直且相等，还是复合命题吗？答案是肯定的！虽然这是假命题，但它照样可以拆分为命题p：菱形对角线互相垂直；命题q：菱形对角线相等.因为p真，q假，所以p且q为假，与真值表相符.即使将命题1改为：菱形对角线平行且相等，还是复合命题.因为“且”联结的是两个命题，要看实质.可是命题“不等式x（x-1）＜0的解是0＜x＜1”，其结构形式看似“S是M且N”，但它不是复合命题，因为不等式的解指的是解集，“x＞0且x＜1”中的“且”联结的是“必须同时满足”的两个“条件”，是不能拆分的.正如命题“对数函数y=logax的底数a＞0且a≠1”中“a＞0且a≠1”一样.

结论2 结构形式为“M且N是S”的命题是简单命题

命题2“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”，其结构形式为“M且N是S”，是命题1的逆命题，它是复合命题吗？假设是复合命题，则可拆分为命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；命题q：对角线互相平分的四边形是菱形，因为p假，q假，所以p且q为假，而命题2显然是真命题，与真值表矛盾，说明该命题为简单命题，是不可拆分的.因为该命题中的“且”联结的是两个“条件”，它不是逻辑联结词.若将上述两个命题构成新命题p且q，则只能“完全照搬”为：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形，是不可合并的.类似的简单命题如：

（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）模相等且方向相同的两个向量相等；

（3）x=1且y=2是x+y=3的充分不必要条件.

若将命题2改为“对角线互相垂直且平行的四边形是菱形”，虽然拆分为两个命题，命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；命题q：对角线互相平行的四边形是菱形，因为p假，q假，所以p且q为假，而原命题也是假命题，与真值表相符了，难道这个假命题变成复合命题了吗？否！从本质上看“且”联结的仍是两个条件.

结论3 结构形式为“S是M或N”的命题是简单命题

命题3“能被5整除的整数末位数字是0或5”，其结构形式为“S是M或N”，这里的“或”联结的是两个结论，它是简单命题.假设“能被5整除的整数末位数字是0或5”是复合命题，则可“拆分”为命题p：能被5整除的整数末位数字是0；命题q：能被5整除的整数末位数字是5，因为p假，q假，所以p或q为假，而命题3显然是真命题，与真值表矛盾，说明该命题为简单命题，是不可拆分的.若将上述命题p、q构成新命题p或q，也只能“完全照搬”为：能被5整除的整数末位数字是0或能被5整除的整数末位数字是5，是不可合并的.类似的简单命题如：

（1）4的平方根是2或-2；

（2）平面内不重合的两条直线平行或相交；

（3）若向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反.

需要特别说明一个命题：苹果是长在树上或长在地里.它看似属于“S是M或N”的结构形式，但“或”联结的是“苹果是长在树上”和“苹果是长在地里”两个命题，它是复合命题.因此，二者仅是“形似”，实际上与此类命题有本质的区别.

结论4 结构形式为“M或N是S”的命题是复合命题

命题4“末位数字是0或5的整数能被5整除”，其结构形式为“M或N是S”，它是复合命题.该命题是可以拆分为命题p：末位数字是0的整数能被5整除；命题q：末位数字是5的整数能被5整除.自然也可以合并为：末位数字是0或5的整数能被5整除.

类似的复合命题如：

（1）15或10是5的倍数；

（2）正数或0的平方根都是实数；

（3）一组对角互补或各边中垂线交于一点的四边形是圆内接四边形.

二、结论应用

例1 指出下列命题哪个是简单命题？哪个是复合命题？

（1）若ab=0，则a=0或b=0；

（2）若a=0或b=0，则ab=0；

（3）若a2+b2=0，则a=0且b=0；

（4）若a=0且b=0，则a2+b2=0.

解：（1）结构形式为“S是M或N”，由结论3知，是简单命题；

（2）结构形式为“M或N是S”，由结论4知，是复合命题；

（3）结构形式为“S是M且N”，由结论1知，是复合命题；

（4）结构形式为“M且N是S”，由结论2知，是简单命题.

例2 命题“方程x2=1的解是x=±1”，使用逻辑联结词的情况是（ ）.

（A）没有使用逻辑联结词

（B）使用了逻辑联结词“或”

（C）使用了逻辑联结词“且”

（D）使用了逻辑联结词“非”

解：结构形式为“S是M或N”，由结论3知是简单命题，应选A.

因为“方程x2=1的解是x=±1”可以表述为“方程x2=1的解是x=1或x=-1”，但此处的“或”不是逻辑联结词，它联结的是两个“结论”.因此该命题是简单命题.

注：这是教辅资料中常见的习题：所附答案为“B”.

例3 分别指出下列命题是复合命题还是简单命题，若是复合命题，请指出其命题的形式及构成它的简单命题.

（1）3和4是12的约数；

（2）x2≥0；

（3）x2+1≥0；

（4）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边；

（5）x=1或x=0是方程x2=1的解；

（6）大于0且小于1的数的对数小于0.

解：（1）这里的“和”应理解为“或”，即“3或4是12的约数”，是“p或q”形式的复合命题，其中p：3是12的约数；q：4是12的约数.

（2）是简单命题，用文字可叙述为：实数的平方大于或等于0，其中“或”联结的是两个结论.

（3）是“p或q”形式的复合命题，其中p：x2+1＞0；q：x2+1=0.

（4）该命题隐含了“且”，即“等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边”，是“p且q”的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线垂直底边；q：等腰三角形顶角的平分线平分底边.再如：有两个角是45度的三角形是等腰直角三角形.

（5）是“p或q”形式的复合命题，其中p：x=1是方程x2=1的解；q：x=0是方程x2=1的解.因为p真，q假，所以p或q为真.注意，容易认为“x=1或x=0是方程x2=1的解”是假命题，如同“2≥2”为真命题是一个道理.

（6）由结论2知，是简单命题.

总之，考查一个命题是不是“p且q”或“p或q”形式的命题，我们可以对照上述四个结论加以判断.但由于数学命题语言表达的灵活性和多样性，这四种情形不可能涵盖所有含有“且”“或”的命题.因此在具体判断此类命题时，既要观察形式，又要分析本质；既要看它是否含有“且”与“或”，又要看它是否隐含了“且”与“或”，还要看“且”与“或”是否为两个命题之间的联结词，有时还要与它们对应的真值表联系起来判断.只有深刻理解“且”与“或”的真正内涵，才能摆脱形式上的困扰.H