基于惯性补偿的脉冲风洞测力天平瞬态研究

吕金洲， 张小庆， 陈光雄， 刘伟雄， 王 锋

(1. 西南交通大学 机械工程学院 成都 610000；2.中国空气动力研究与发展中心 超高速空气动力学研究所 高超声速冲压发动机技术重点实验室，四川 绵阳 621000)

激波风洞和脉冲风洞是进行一体化飞行器技术研究的主要地面设备[1-2]，这两类风洞的试验很短[2-4](500μs～300ms)，会激发测力系统的振动特性且有效试验时间内振动无法达到平衡，测力天平输出结果为高频动态信号，因此其动力学特性必须满足试验测试需求。当前测力信号数据处理所采用的天平公式为静态校准所得，未考虑其动态特性对结果的影响，这必然导致载荷输出与输入之间存在差异。

为解决短时风洞快速测力问题，国外针对激波风洞短时测力技术开展了大量研究，Sanderson[5]提出了应力波天平测力技术。Robinson等[6-7]分别设计了3分量应力波天平，并在激波风洞中开展了测力试验，试验结果与理论预测吻合较好。Tanno等[8-9]在张线模型加速度计天平上运用了反卷积时域信号恢复方法，并在300×300mm激波风洞中对其进行了验证。Niranjan等[12]采用加速度计天平和应力波天平对同一试验模型在激波风洞中进行了测力试验，证明了当试验时间大于450 μs时，两种天平均能满足试验要求。

中国空气动力研究与发展中心(CARDC)长期开展快速测力方面的研究，建成并运行了∅2.4 m脉冲式燃烧风洞，该风洞已经开展了大量一体化飞行器试验，快速测力技术在其中得到了充分的应用和发展，王洪山等[13]总结了应力波天平在国内激波风洞上的应用，王峰等[14]将载荷辨识技术应用于脉冲燃烧风洞模型测力，根据天平测量信号与模型气动载荷历程之间的线性关系，对模型载荷进行辨识。中科院力学所的汪运鹏等[15]根据高超声速激波风洞JF12的特点设计了相应的杆式和盒式应变天平，并在试验中获得了准确的气动力载荷。以上研究均是以应变天平弹性输出为研究基础，未评估惯性载荷对测量结果的影响。

综合国内外激波风洞和脉冲风洞快速测力的研究现状，测力天平的惯性补偿主要针对激波天平和压电天平，国内风洞由于试验时间相对较长，测力设备仍以应变式天平为主。鉴于试验过程中测力系统的动态特性，要进一步提高天平的测力精度及获得瞬时气动载荷，必须对结果进行惯性补偿[16]。

1 概述

本文以盒式单分量应变式测力天平为研究对象，其结构如图1(a)所示，由浮动框、固定框和弹性测量元件三部分组成，浮动框和固定框均为实体结构，具有很高的刚度，弹性测量元件为厚度2 mm的板梁，呈“z”字形，连接固定框和浮动框，刚度很低，为试验时主要的变形部位。工作时浮动框与试验模型固连，固定框与模型支架固连，风洞来流作用在试验模型上产生气动力载荷，使天平测量元件产生应变，引起应变计电阻发生变化，惠斯顿电桥输出电压经放大电路放大后输出。图1(b)为测力天平剖视图，该图显示了箔式应变计贴片位置，四个应变计构成全桥电路，检测相应位置的应变，通过静态校准的方式确定输入载荷和输出电压之间的关系，得到天平静态校准公式。该天平为单分量天平，仅测量轴向(x向)载荷，应变计输出测点y向的应变信号。

图1 单分量测力天平Fig.1 Single Component Force Measurement Balance

2 天平动力学建模

天平测量元件为2 mm梁，质量可忽略不计，只考虑其刚度特性，可简化为一对广义弹簧，连接天平浮动框和固定框，对两部分之间的运动起约束作用，浮动框连接试验模型，可视为自由振动，固定框与支架连接，可视为固定。对于如图1所示的单分量天平，其结构简化如图2(a)，固定框简化为地面，测力元件简化为一组具有x向刚度的弹簧，由于天平结构的对称性，k1和k2具有相同的刚度，记为k，浮动框简化为两端弹簧支撑的杆，如图2(b)所示，此时仅考虑天平的轴向变形，而忽略其他分量影响。

图2 测力天平简化模型Fig.2 Simplified model of test balance

设杆的位移为μ(x,t)，并假定其可分离变量，把该分离变量的结果应用到N自由度系统上，此时有：

(1)

记

(2)

(3)

天平势能由三部分组成，分别为弹簧k1和k2的弹性势能，和浮动框变形的弹性势能，即

V=Vk1+Vk2+Vb

(4)

式中：Vk1、Vk2分别为弹簧k1和k2的弹性势能，Vb为浮动框的弹性势能。

(5)

将式(2)代入式(5)得

(6)

(7)

同理

(8)

综上所述，系统所具有的势能为：

(9)

建模时不计弹性元件的质量特性，系统所具有的动能仅为浮动框的动能，即：

(10)

设试验过程中模型受到的载荷函数为F(x,t)，在该载荷作用下，天平浮动框产生的虚位移为：

则该载荷对试验模型所做的虚功为：

(11)

应用拉格朗日方程可以得到

(12)

引入测力天平自身阻尼，得到其动力学方程为：

(13)

式中：M，C，K分别为天平的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，F为其受到的外部载荷。

式(13)表明，测力天平进行载荷测量时，不仅要考虑测量元件变形产生的弹性载荷，还需要考虑浮动框及试验模型产生的惯性载荷和阻尼载荷。因此，本文进行测力天平动力学分析时，除弹性输出载荷之外，同时将惯性载荷以及阻尼载荷考虑在内，这将对风洞测力结果重要影响。

3 仿真分析

3.1 天平虚拟静标

对测力天平进行动力学分析，首先需对其进行静态校准，获得天平输入和弹性输出之间的关系。

天平的有限元模型如图3所示，该模型节点数为2.4万，网格数为0.35万，材料为Ni18Co8Mo5TiAl，其力学参数如表1所示。边界条件与使用时一致，天平浮动框上表面施加轴向(x向)1 000 N载荷，如图3所示，天平应变结果如图4所示。

表1 天平材料力学参数

图3 天平有限元模型Fig.3 Finite element model of balance

图4 天平y向应变Fig.4 y direction strain of balance

表2 测点应变

根据惠斯顿电桥原理，全桥电路输出电压为4处应变计电压的组合，此处只需考虑输入载荷与输出应变总和之间的关系。表达式为

F=A(-μ1+μ2-μ3+μ4)

(14)

式中：A为天平系数，代入仿真所得数据计算得A=0.247 359 4×106N。

3.2 天平模态及风洞载荷分析

3.2.1 模态分析

模态分析既是动力学分析的一部分，又可以为瞬态分析提供必要的数据支撑。通过模态分析可以获得结构振动的频率和振型，此处进行模态分析是为了获得天平轴向振动的固有频率，以确定输入载荷频率。边界条件与静态标定中相同，求解其前六阶模态参数，结果如表3所示，各阶振型如图5所示。

分析结果表明，单分量天平的浮动框轴向振动为一阶振动，其固有频率为94.214 Hz，而其他5阶模态的固有频率则大幅升高，这说明该天平轴向刚度相对于其他五个自由度的刚度很低，轴向载荷作用时会产生更大的应变，有利于该载荷的测量，证明该天平具有较好的性能，能够满足使用要求。

表3 天平前六阶模态参数

图5 天平前六阶振型Fig.5 Former six modes of balance

3.2.2 阶跃载荷

图6为5 m量级不通气标模试验过程中总压和轴向振动信号，粗黑曲线表示试验段总压变化规律，细曲线表示轴向电压变化规律。从图中可以看出，首先为总压上升阶段，即风洞启动过程，接下来为总压稳定阶段，即有效试验阶段，持续约500 ms。因此，对测力天平振动特性研究，必须分析阶跃载荷作用时测力天平的振动特性。

图6 滤波后天平信号的时频图Fig.6 Time-frequency domain fig of FFT filter of balance

3.3 瞬态动力学特性研究

3.3.1 阻尼系数的确定

阻尼对瞬态分析的影响很大，主要体现在振动幅值随着周期数增加逐渐减小。若不考虑阻尼，模型振动将无时限的进行下去，因此分析时，必须设置阻尼参数。对材料阻尼的研究，科学界提出了许多理论[17-18]，其中Rayleigh法在有限元计算过程中具有明显优势，得到了广泛的应用，Rayleigh阻尼的线性表达式为

C=αM+βK

(15)

文献[19]以及有限元软件均是通过式(16)求解Rayleigh阻尼系数α和β值的。

(16)

式中：ωi、ωj为所关注振动频率的范围；ξi、ξj为起止频率所对应的黏性阻尼系数，对于一般的机械结构系统，取值范围为0.03～0.05，此处取ξi=ξj=0.04。

对测力天平进行瞬态动力学仿真，载荷形式为正弦和阶跃两种。对于正弦载荷，频率分别设置为浮动框轴向振动频率的一半、轴向振动频率以及轴向振动频率的两倍，对应的值分别为50 Hz、94.214 Hz和200 Hz，该条件下，关注频率范围为0～200 Hz，代入式(16)得到α和β的值分别为0、6.37×10-5。对于阶跃载荷，关注频率范围为0～100 Hz，求得α和β的值分别为0、1.275×10-4。

3.3.2 50 Hz激励载荷作用下的振动规律

测力天平施加正弦50 Hz加载时，载荷输入输出结果如图7所示。

图7(a)为施加载荷的变化规律，其中0～0.05 s为初始阶段，载荷值为0，0.05～0.25 s为加载阶段，其变化规律为幅值为1 000 N、周期为50 Hz的正弦信号，加载位置为天平浮动框上表面，如图3所示，0.25～0.35 s为卸载阶段，载荷值为0，天平在阻尼的作用下自由振动，直到静止。

图7(b)显示了分析时间内天平弹性载荷和浮动框惯性载荷变化曲线，图中虚线为根据式(14)计算所得天平弹性载荷，实线为天平输出惯性载荷，方法为提取图1(a)中A1～A4的轴向加速度，以四点加速度的均值作为浮动框加速度(结果显示天平浮动框近似为刚体振动)，根据牛顿第二定律，得到整个浮动框的惯性载荷。从图中可以看出，弹性载荷和惯性载荷在正弦载荷作用时，输出结果均未按照正弦规律变化，而是以结构与载荷两者耦合作用的规律振动。

图7(c)为输入和输出载荷的对比图，虚线为标准输入载荷，实线表示惯性补偿后天平的输出载荷。从图中可以看出，对天平弹性载荷补偿后，输出与输入载荷一致性良好。

3.3.3 共振载荷作用下的振动规律

共振(Resonance)是指机械系统所受激励的频率与系统的固有频率相同时，系统振幅显著增大的现象。表3显示，测力天平的一阶振型为浮动框轴向振动，对应频率为94.214 Hz，所以此时输入载荷的频率设为94.214 Hz。

图7 50 Hz正弦载荷分析结果Fig.7 Analysis result of 50 Hz sines load

图8(a)为输入载荷，其中0～0.05 s为初始阶段，载荷输入为0，0.05～0.262 3 s为加载阶段，该时间段内载荷的变化频率为天平一阶共振频率94.214 Hz，幅值为1000 N，共20周期，0.262 3～0.35 s时间内输入载荷为0，天平振动在阻尼作用下逐渐恢复至平衡位置。

图8(b)为共振时载荷的输出曲线，从两条曲线中可以看出，随着激励周期数的不断增加，载荷的幅值不断增加，且由于阻尼的作用，其增长速度逐渐降低，激励结束之后，振动幅值有不断减小，最终趋于平稳。

图8 共振载荷分析结果Fig.8 Analysis result of resonance load

图8(c)为输入输出载荷对比图，从图中可以看出，由于共振的影响，经过惯性补偿之后，载荷输入输出之间仍然存在一定的差异，主要表现在加载后期和载荷消失之后，但是其输出结果精度较补偿前得到了极大提高。

3.3.4 200 Hz激励载荷作用下的振动规律

接下来讨论激励载荷振动周期为200 Hz时，测力天平的振动情况。

图9(a)为输入载荷，其中0～0.05s为初始阶段，载荷为0，0.05～0.25 s对天平施加周期200 Hz、幅值1 000 N的正弦载荷，共40个周期，0.25～0.35 s时间内载荷为0。

图9 200 Hz正弦载荷分析结果Fig.9 Analysis result of 200 Hz sines load

图9(b)为载荷输出结果，虚线和实线分别代表弹性载荷和惯性载荷，从图中可以看出，加载过程中，天平的惯性载荷频率特性基本稳定，但是幅值特性不断发生变化，弹性载荷的周期和幅值特性则均呈现出大幅波动。

图9(c)为输入和输出载荷的对比图，从图中可以看出，对弹性输出载荷惯性补偿后，天平总的输出载荷与输入载荷能够很好的吻合。

3.3.5 阶跃载荷作用下的振动规律

对测力天平进行阶跃载荷作用下瞬态动力学分析，图10(a)为测力天平输入载荷，0～0.05 s为初始阶段，载荷值为0，0.05～0.050 2 s为加载阶段，数值从初始状态0增加到1 000 N，0.050 2 ～0.35 s为载荷稳定阶段。

图10(b)为阶跃载荷作用时测力天平弹性和惯性输出载荷曲线，从图中可以看出，随着载荷施加，弹性与惯性输出均以恒定周期进行振动，在阻尼作用下，振动幅值不断减小。

图10(c)为测力天平输入输出对比图，虚线表示天平的输入载荷，实线表示弹性载荷与惯性载荷叠加后的输出载荷，从图中可以看出，惯性补偿后，仅在载荷施加后，输出载荷存在一定的振荡，且持续很短时间后，即到平衡状态。

图10 阶跃载荷分析结果Fig.10 Analysis result of shock load

3.4 结果分析

3.4.1 均值结果分析

以上对测力天平动力学仿真分析，分别施加了周期为50 Hz、94.214 Hz、200 Hz的正弦载荷，以及阶跃载荷，表4给出了不同载荷作用时，惯性补偿前后输入输出均值之间的偏差比率。从表中可以看出，未进行惯性补偿且激励频率远离天平共振频率时，均值偏差率小于0.75%，能够满足试验测力的精度要求，但是当激励频率接近天平固有频率时，均值偏差率接近10%，说明此时天平弹性输出结果失真严重。对测力天平进行惯性补偿后，输出载荷的均值偏差率均小于0.1%，虽然共振频率范围附近的结果偏差较大，但结果仍然可信。

表4 不同激励下输入输出偏差率

3.4.2 补偿结果分析

图11(a)～(d)显示了以上4种瞬态载荷激励时，惯性补偿后输入输出载荷之间的瞬时偏差，从图中可以看出当输入载荷频率远离测力天平共振频率时，两者偏差在7%以内，其中50 Hz正弦载荷与阶跃载荷所得结果的瞬时偏差均小于5%，当输入载荷频率等于测力天平固有频率时，测力天平产生共振，对瞬态输出结果造成很大的影响，输入结果和输出结果出现很大偏差。以上分析说明当激励载荷的频率远离测力天平共振频率时，惯性补偿后天平的瞬时输出结果是可信的。

图11 分析结果瞬态偏差Fig.11 Transient difference of analysis results

4 结 论

本文首先基于Lagrange方程建立了测力天平的动力学方程，阐述了弹性输出进行惯性补偿的必要性，其次通过仿真的方法对测力天平进行了不同频率正弦载荷与阶跃载荷作用时的瞬态动力学仿真，通过对仿真结果分析，得出以下几点结论：

(1)推导测力天平动力方程发现，采用弹性输出均值作为测力结果在一定精度范围内是可行的，但要进一步提高测力精度，必须对弹性输出结果进行惯性补偿；

(2)当激励载荷频率远离测力天平固有频率时，天平的弹性输出均值与输入均值偏差在0.75%以内，可以满足风洞测力系统对测力结果的要求，但共振时两者偏差较大；

(3)惯性补偿后，测力天平输出载荷均值与输入载荷均值之间的偏差大幅降低，均小于0.1%，极大的提高了测力精度；

(4)惯性补偿后，对远离测力天平固有频率的激励载荷，输入输出载荷之间的瞬态偏差在7%以内，能够满足测力系统瞬态测力研究的需要。

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