基于机会的教学立意——以“二次函数与方程、不等式的关系”教学为例

☉浙江省建德市梅城初级中学 沈 莉

一、二次函数不等式教学的现状

二次函数是浙教版初中数学九年级上册第一单元的内容.学生在八年级学习一次函数和反比例函数，七年级上册学习一元一次方程，八年级下册学习一元二次方程，八年级上册学习一元一次不等式等基本知识.在此基础上，学习二次函数及二次函数与方程、不等式的关系，既便于学生理解其中的本质，也达到了学以致用的效果.

二次函数一直受到初中学生和教师的高度重视.类比一次函数、反比例函数的学习，二次函数的概念及其图像和性质的学习容易让学生理解.但在实际问题中，当二次函数与方程、不等式结合起来的时候，学生的思路就不太清晰了.这就要求学生注重对二次函数的理解和巩固练习，还要求教师注重课堂效率，注重教学方法.让学生在抛物线和方程、不等式的学习中体验数形结合的思想，解决二次函数不等式学习的重、难点.

二、机会的教之释义

机会的教，就是抓住课堂教学过程中学生迸发的闪光点进行延伸、拓展教学.在理解教材、理解课标、理解学生的基础上，针对学生原有的知识和能力，以及学生的错解，分析、总结，从而进一步拓展教学.

在学生原有的认知和理解能力的基础上展开拓展.在学生能熟练得到一个二次函数的顶点坐标、对称轴及图像与坐标轴的交点坐标后，基于机会的教要求教师找准时机，提出适合的问题，引导学生思考、比较，并得到相关结论.例如本课中，教师在学生求出函数y=x2+4x+3与x轴的交点坐标后，教师提问：“你是怎么求得交点坐标的呢？为什么要令y=0？”学生会回答x轴就是直线y=0.教师抛出问题：“抛物线y=x2+4x+3与直线y=x+7的交点的坐标怎么求？”学生通过类比会得到方程x2+4x+3=x+7，求得x1=1，x2=-4，再回代求y.由学生已经掌握得比较好的知识能力入手，向学生不易理解的问题转变，衔接自然且容易让学生理解其中的联系点.

理解教材、理解课标地开展教学.浙教版九年级第一单元中二次函数的应用中有例题：利用二次函数的图像求方程x2+x-1=0的解（或近似解）.方程的解即函数y=x2+x-1与x轴的交点的横坐标，也可以理解为函数y=x2+x与y=1的图像的交点的横坐标，或者当作y=x2与y=1-x的交点的横坐标.此过程可以通过几何画板的展示，问题引导，学生判断、分析、比较，从而对数形结合思想有进一步的认识和体会.笔者在本节课的例题题干中只出示二次函数的解析式，第一个问题就要求学生画出图像，在问题一的基础上步步引导，通过一个个简单的问题，把函数的解析式联立得到的方程与图像的交点坐标建立关系.

三、基于机会的教的教学立意构建

教学过程中，笔者把多种方式结合起来.提出问题后，由学生猜想、小组讨论合作完成，如在同一直角坐标系中的图像，比较三个函数的图像，有什么发现？它们之间有什么共同点和区别？分组合作，并以组为单位分享收获，既发挥学生的主体性，提高学生的兴趣，还能更有效地掌握二次函数y=ax2的图像和性质.

本节课笔者主要对二次函数的图像展开讨论研究，让学生画二次函数的图像，分析对称性、增减性、与坐标轴的交点，再由特殊到一般，类比抛物线与直线交点的求解方法，得到图像的交点的横坐标与方程解的对应关系.通过画图、分析、计算，得到抛物线与直线的交点，与对应一元二次方程解的相关性.在此过程中，

（一）课堂教学方式多样化，提高学生对课堂教学的兴趣

多样化的教学手段能帮助教师吸引学生的注意力，提高对课堂及知识点的兴趣.几何画板就是很好的一种展示工具.通过改变参数的值，在几何画板中得到二次函数的图像动起来的效果，能让学生觉得有意思.借此机会，提一些小问题，让学生猜想，再通过图像说明.解决问题的同时，让学生对二次函数产生兴趣.然后加一条与抛物线相交的直线，通过移动直线，观察图像的交点坐标，得到相关结论.多给学生展示的机会，请学生上台演示动态图，或者结合图像分析.让小老师们分析解题思路，讲解函数与方程的关系，课堂效果明显的同时还能活跃课堂上学生的学习氛围.

（二）充分利用现代化教学工具，增强数学课堂的趣味性

在科技高速发展的今天，教师可以通过多媒体、画图软件、手机同屏技术等现代化教学工具，增强数学学科的趣味性，把学生带进妙趣横生的数学课堂.

二次函数的学习中，教师应用几何画板增强趣味性.比如，在二次函数1.2.1的学习中，要求学生掌握形如y=ax2的函数的画像和性质.教师通过几何画板画出函数y=图像，并不断改变函数的二次项系数a的值，学生目不转睛地看变化着的图像，在几何画板中找出这类函数的明显特征，很大程度上提高了课堂效率.

手机同屏技术的应用让学生觉得很新鲜.二次函数专题复习课——求二次函数表达式，教师可针对二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的不同要求和特点拟两个生活中的问题给学生练习.再通过手机同屏拍照投影出学生选用不同表达式的求解，请学生讨论每个表达式适用的问题.

当然，教学过程中教师还可以通过生活中的视频、图片向学生展示我们的数学知识.比如，选学生在打篮球时投篮的照片、视频引入抛物线的概念.通过下载的FLASH、图片等网络资源，提高函数与方程学习中的直观性、趣味性.

（三）基于学生生活的有效提问，调动学生学习的积极性

初中学生正处于由直观的形象思维向抽象思维转变过程中，对抽象事物的理解能力比较弱，因此，在课堂教学中结合学生身边的事例，找到刺激学生兴趣的兴奋点相当重要.比如，讲抛物线时，教师用投篮过程中篮球的运动轨迹介绍抛物线.同时提出疑问：班里××男生投出的篮球运动路线是不是抛物线呢？这样一来，课堂气氛就活跃起来，抛物线也形象直观了.再问：×××同学擅长实心球，那么实心球掷出后的运动轨迹是不是抛物线呢？在一部分学生否定后，引导学生带着问题学习书本上抛物线的概念.

生活中学生都逛过超市，教师可提问：大家去超市买东西时，选择怎样的方案能达到省钱的目的呢？那么，我们就可以用二次函数来设计方案了.将二次函数应用于生活中，既能使抽象的概念形象化，又可以把学生的学习积极性调动起来，达到预期的教学效果.

（四）读懂例题精准的教，培养学生的解题能力

想使例题发挥应有的效果，就要引导学生先把例题读懂.读懂例题的教，可以根据学生对第一个问题的回答情况再进一步提问、教学，不能为了完成分析例题这个任务才讲解习题.教学过程中，对学生出现的错误理解和解题步骤，千万不能轻易放过，可以请学生分享他们的思路和想法，再由别的学生补充或者纠正，教师只需要在适合的时候引导、小结就能达到较好的效果.

为了让大家更清晰地理解和掌握二次函数与方程、不等式之间的关联，本课的例题只有一个，即二次函数y=x2+4x+3.从该函数自身的顶点坐标、对称轴、增减性，到y=x2+4x+3与x轴的交点，再到y=x2+4x+3与直线y=x+7的交点坐标，以及方程x2+4x+3=x+7的解，最后拓展到y=x2+4x+3-（x+7）与x轴的交点情况.解决一个小题，就及时做个小结，前三个小题都完成后，学生通过类比就能马上得出问题4的解决办法.在解决所有问题之后，学生会发现不管是求函数的交点，还是一元二次方程的解，其实就是在解决同一个问题，计算同一个方程，从而体会二次函数与一元二次方程的关系，再由一元二次方程变形成不等式，其实就是函数图像上由交点向其他部分转变，进而提高学生分析、解题的能力.

（五）加强相关知识间的联系，提高学生学习的效率

在教学的引入或者课堂小结中，可以适当采用类比、区分两者关系等方法，既能使得课堂内容顺畅衔接，也能及时回顾所学内容，更能帮助教师在学生已有知识的基础上，找准机会进行教学.函数研究的方式与途径相同，而在二次函数求值过程中会多次出现方程、不等式等.学生能回答单一知识点的问题，但很难高效地解决综合性强的问题.

笔者认为二次函数是中考的重、难点.二次函数的性质和应用通常都会与方程、不等式、分类讨论及一些实际问题结合起来，这就要求有更强的逻辑性，有更严谨的学习态度和更综合的学习能力.本节课把二次函数与一元二次方程、不等式联系起来，由二次函数自身提问到二次函数与方程、不等式的关联问题，从不同角度通过对不同问题的思考，列出同一个等式，解决同一个本质问题，即二次函数图像与直线的交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，抛物线上交点以外的其他点的坐标，是相应不等式的解.这样来源于实践的体验，使得学习能更系统化，便于学生理解和掌握其中的关系.

同时这种联系与区别还能同样应用于一次函数与一元一次方程、二元一次方程组等的复习.函数与函数之间也有联系与区别，比如二次函数、一次函数、反比例函数的图像、增减性等就有一定的联系与区别.这样化繁为简地学习，不仅可提高学生的学习效率，加深对各个知识点的理解，还能提高学生的学习兴趣，在这个过程中培养了数学学习的兴趣和学习方法.

四、结束语

教师的专业知识水平、对教材和课标的理解、对学生的理解决定数学课堂的教学效果.本文通过二次函数与方程、不等式的关系，得到的对数学教学的感受和思考也比较浅.笔者会在今后的教学中，继续将重点放在对学生认知和接受能力的理解上，研究每个阶段学生的知识储备和解决问题的能力，基于机会地教学，努力打造更有数学味道的高效课堂，带着学生了解数学、理解数学、学好数学.