注重错因剖析 整合学习资源 提升思维品质——以错因分析为主线的初中数学解题教学的策略研究

☉江苏省张家港市妙桥中学 吴爱英

我们知道：教师教学过程的本质就是有效运用教学资源的过程.因此，教师在教学中要科学、合理地利用好课程资源，并且能有意识地开发一些有效的教学资源，不断丰富、充实有限的教学资源.学生的学习过程是一个知识不断积累的过程，也是一个“错误”不断显现、修正和完善的过程.学生在学习中产生的错误，是一种来源于学生学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它来自学生，贴近学生.教学时又回到学生的学习活动中，“错误”作为一种教学资源，对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用.事实上，学生在学习知识的过程中，主要的“错误”表现在练习、习题中，常常会出现各种各样的“错误”，有些“错误”是学生自己造成的，也可能是他人犯下的.平时教学中，部分学生不懂得利用这些错题资源，有些学生认为虽然自己这次犯下了错误，但是这是不小心犯下的错误，以后自己做题时小心些就不会犯错了，因为这类学生连犯错的根本原因都没找到，所以以后一定会犯下类似的错误.还有一些学生认为，他人犯的错和自己有什么关系呢？又不是自己在犯错.因为这类学生没有思考他人犯错的原因，不了解错误问题背后的本质，所以学生遇到类似问题的时候，可能会犯同样的错.作为教师，首先要尊重、理解、宽容出错的学生，其次要积极引导学生善待“错误”，从自己的“错误”中学到知识，让自己变得更加聪明，从别人的“错误”中学到知识，让自己变得更有智慧.因此，如何精准、合理地利用好学生的错题，为初中数学解题教学服务，是值得我们教师思考、深入研究的一个课题.下面就本人在初中数学解题教学中的一些做法，谈一点粗浅的体会，希望对一线教师的解题教学有所帮助.

一、利用错题发现阅读能力不足，强化学生的审题意识，提高学生的解题能力

“数学教学就是数学语言的教学”，数学语言具有简洁、无歧义的特点，数学符号往往内涵丰富，具有一定的抽象性，尤其是符号语言和图式语言跟自然语言差别很大，而在阅读中语意转换频繁，要求灵活，这就给数学阅读带来一定难度.阅读过程是一个转化的过程，是一个内部言语的转化过程，是新知识同化和顺应的过程.平时的教学中，部分学生在解答数学问题时，不能将抽象的内容转化为具体的或不那么抽象的内容；不会把用符号语言或图式语言表述的关系转化为文字语言的形式，缺乏把文字语言表述的关系转化为符号或图式语言的意识；也不会用自己的语言理解定义或定理.在解题的时候常常计算出错误的结果、虚假的答案，这都反映出学生不懂得如何正确阅读数学问题，教师要引导学生加强阅读能力的培养，强化学生的审题意识，提高学生的解题能力.

【教学案例一】

例1 如果（m-2）xm2-3=2是一个关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？

这是一个巩固一元一次方程概念的简单问题，很多学生都能直接解答，于是课堂中会出现如下对话：

生1：因为（m-2）xm2-3=2是一元一次方程，所以m2-3=1，解得m=±2.

生2：当m=2时，x的系数为0，所以m=-2.

师：如何正确表述呢？

生2：因为（m-2）xm2-3=2是一元一次方程，所以m2-3=1，并且m-2≠0，解得m=-2.

师：m2-3=1，并且m-2≠0，改为好一些.需要强调的是：结合一元一次方程概念，x的系数是不能为0的，所以m-2≠0这一隐含条件一定不能忽视了，否则，我们得到的答案一定是不正确的.

教学思考：通过这一案例，教师可以引导学生要这样阅读数学问题：第一，结合问题，理清已知条件；第二，根据解题的需求，挖掘隐含条件；第三，分析已有条件与答案之间的逻辑联系，避免被虚假的条件或答案干扰，寻求正确的答案.当然，有些数学问题的隐含条件常常隐藏在数学知识的性质中，或者隐藏在图形中，教师要教会学生深入分析问题、正确剖析图形，结合已知条件、定理、性质等数学知识，或者应用转化问题的思路找到隐藏的条件，为解决问题提供必要的帮助.

二、利用错题发现学习习惯问题，端正学生的学习态度，激发学生的学习兴趣

初中阶段是学生系统学习数学学科知识的开始，这一时期学生数学成绩容易呈现两极分化，产生分化的一个重要原因是学生学习习惯的差异.我们知道，数学学习中有很多公式需要学生理解、掌握，并能熟练应用.但是有些学生在学习公式时，不管是否深入理解了公式，而是先把公式背下来再说，事后他们也不再问教师或他人，因为学生根本不理解公式的意义，所以常常不能正确记忆公式，在实际应用中经常会混淆公式，出现这样或那样的错误；还有一部分学生学习知识常常是一知半解，他们认为只要把教师传授的知识背熟了，课本上的公式记住了，就会解决数学问题了.实际上若根本没有理解这些知识，待需要应用这些知识时，往往不知道该怎么应用，在此情形下，他们应用估、摸、猜的方法胡乱答题.教师要及时发现这些学生不良的学习习惯，端正学生的学习态度，激发学生的学习兴趣，因为学生学习习惯的培养是初中数学教学的重要任务之一.

【教学案例二】

例2 2m=a，2n=b，则22m+3n=________（用含a、b的代数式表示）.

这是一道应用同底数幂的乘法法则解决问题的典型例题，需要学生熟悉同底数幂的乘法法则，并能进行适度的变式、转化，对学生的能力要求比较高，常常会出现2a+3b、a2+b3等错误结果.究其原因：一是没有牢记同底数幂的乘法法则am·an=am+n；二是不会逆向应用公式am+n=am·an；三是综合应用知识的能力不强，不会将22m+3n转化为（2m）2·（2n）3.

出现上述错误最根本的原因是学生对概念、公式理解得不透彻、掌握得不牢固，对知识一知半解、浮于表面，学习习惯存在一定的问题.

教学思考：《义务教育数学课程标准（2011年版）指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”在课堂中，教师要把学生的错误作为一种发展学生智力的教学资源，引导学生多角度、全方位审视问题，从不同角度分析错误，寻找产生错误的原因，加深对知识的理解.因此，我们在教学中不妨大胆地让学生自己去探索、去体验，给学生创造良好的思维空间，在探索中明晰错误、修正错误，端正学习态度，激发学习兴趣，提高关键能力.

三、利用错题发现生活知识缺乏，激发学生的探究欲望，加深学生对知识的理解

数学家Freukenthal说：“数学是现实的，学生从现实生活中学习数学，再把学到的数学应用到现实中去.”也就是说，数学离不开生活，又必须应用于生活.但是，在平时的数学学习中，部分学生没有认真观察生活，积极参加生活实践的习惯，认为学习知识是一回事，参与生活实践是另一回事，只要在学习中认真学习了理论知识，掌握了计算技能等，就能解决各类问题，是否参与生活实践和能否解决数学问题是两回事.由于缺少生活的常识，在遇到实际生活与数学知识相结合的问题时，往往仅从理论入手解答问题，而不是联系生活着手分析问题，常常会出现不切合实际生活的错误.

【教学案例三】

例3 小樱每天都要路过三个十字路口，十字路口都安装了红绿灯，现在小樱有急事赶到学校，请你帮她估计至少遇到一次红灯的概率是多少.

对于联系实际生活的问题，部分学生有惧怕的心理，不敢作答，部分学生错误地认为至少遇到一次红灯.之所以出现这样的问题，在于学生没有认真了解过生活，不能把生活知识与理论知识结合起来，盲目地把三次遇到红灯的问题与一次遇到红灯的问题相混淆，从而出现低级错误.还需要强调的是，本例中要求“至少遇到一次红灯的概率”，如果从正面直接去求解，需要考虑的情形很多，我们不妨从反面先求“没有遇到红灯的概率”，这也是学生在解题教学中需要学习的重要方法之一.事实上，设小樱没有遇到红灯的概率为p′，则p′=，那么，小樱至少遇到一次红灯的概率

教学思考：通过本例的教学，教师要从以下三个方面引导学生：第一，很多数学问题来源于生活，不能在脱离生活的基础上探讨数学问题；第二，在实际生活中，我们要做个有心人，了解生活常识，观察生活细节，熟悉生活规律，为解决数学问题提供基本的生活知识；第三，在生活中寻找数学，发现数学，然后进行归纳、总结，再把它转化为数学问题，用数学知识去解决，从而完成从感性到理性的升华，切实提高分析问题、解决问题的能力.

四、利用错题发现思维能力不够，培养学生的发现意识，增强学生思维的深刻性

在实际的数学教学中，我们经常听到学生反映，上课时听教师讲课，听得“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从下手.等教师把问题分析完时，又常常一拍脑袋：“我怎么想不到这样去思考呢？”这是因为部分学生的思维能力不够，所以不能正确寻找到解决问题的思路，常常出现意想不到的错误.教师要利用错题引导学生正确认识提升思维水平的重要性，培养学生的发现意识，增强学生思维的深刻性.

【教学案例四】

例4 设关于x的方程x2-8x+a|x-4|+12-2a=0恰有两个实根，求实数a的取值范围．

这是一道综合性比较强的题，其难点是如何处理好题目中的|x-4|，很多学生会采用分类讨论来解决.（教师巡视，学生思考）

生1：若x≥4，方程可化为：x2+（a-8）x+12-6a=0；若x<4，方程可化为：x2-（a+8）x+12+2a=0．一是两个方程都不太好解；二是原方程恰有两个实根这个条件不知道怎么使用．

师：看来去掉绝对值以后比较难以解决，我们再观察一下题目结构，能否从x2-8x入手考虑呢？

生2：我们可以先配方，将原方程转化为：（x-4）2+a|x-4|-2（2+a）=0，利用（x-4）2=|x-4|2，原方程可以进一步转化为：|x-4|2+a|x-4|-2（2+a）=0．

师：很好，生2帮我们提供了一个解决问题的方案，那么，如何解上述一元二次方程？如何利用原方程恰有两个实根这个条件呢？（学生动手计算，教师继续巡视）

生3：令|x-4|=t，则t2+at-2（2+a）=0，解得t=2或t=-（2+a）．当|x-4|=2时，x=6或x=2.因为方程x2-8x+a|x-4|+12-2a=0恰有两个实根，所以|x-4|=-（2+a）没有实根，-（2+a）<0，所以a>-2．

师：你们同意生3的结果吗？是不是|x-4|=-（2+a）不能有实根？

生4：如果方程t2+at-2（2+a）=0有等根，|x-4|有一个解，原方程可以有两个解的．所以当-（2+a）=2时，原方程还是恰有两个实根．

师：非常好，生3求得t=2或t=-（2+a）后，因为方程x2-8x+a|x-4|+12-2a=0恰有两个实根，所以-（2+a）=2或-（2+a）<0，解得a=-4或a>-2．这才是正确的结果．

教学思考：在平时的解题教学中，对部分学生来说，因为他们的思维能力不够，在解决问题时经常会犯错误，教师要耐心、细致地分析、纠正，逐步提升学生的思维能力．第一，要引导学生看典型的例题，让学生熟悉一些数学问题的解题思路、基本方法，形成一定的技能；第二，要引导学生积极参与到教学活动中来，通过自己的观察、思考、操作、探究等数学活动获取知识、掌握方法，完善自己的思维品质；第三，教学设计要把握好起点，控制好难点，循序渐进、逐层深入，达到师生数学思维的阶梯渐进、和谐同步；第四，遇到一些综合性强、能力要求比较高的问题时，教师要有意识地设置一些“铺垫”或做一些数学实验、演示，为学生的探索思维提供直观的、感性的参考材料．可能在一次学习、两次学习的过程中，学生的思维能力不会有显著提高，只要持之以恒、不断努力、科学训练，学生的思维能力一定会有所提高的.

在解题教学中，学生的错误是不可避免的，教师需要有理智的“错误意识”，要引导学生找到解决错误的方法，在纠错的过程中提高学习技能、端正学习心态、提升思维能力和实践能力，从错误中获得新的启迪；要把学生的错误当成一种教学资源，当成学生很好的锻炼机会，合理应用错题资源，以错因分析为主线，开展高效的数学教学活动，提高学生的数学素养，提升教师的教学技艺，丰富教师的教学智慧.