整解不忘临界点 分式牢记要检验

☉江苏省句容市崇明中学 何玉兵

分式方程是初中学生在学习方程时的一个难点，很多学生往往忽视对方程根的检验，从而导致错解或漏解.不等式组的解集问题，学生在范围的取舍上出错的原因大多是不习惯借助于数轴.近日，在初三一轮复习过程中，学生在解题时出现了许多不同的典型错误，写出来与读者分享.

例1若关于x的不等式组,有且仅有5个整数解，且关于x的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和.

学生甲解答：将不等式组化简，得因为不等式组有且仅有5个整数解，所以这5个整数解为4，3，2，1，0，所以，即－4＜a＜3.解关于x的分式方程，得又因为a为整数，分式方程有整数解，所以a的所有可能的取值为－3，－1，1，故所有满足条件的整数a的值之和为－3.

学生乙解答：解不等式组,得因为不等式组有且仅有5个整数解，所以这5个.整数解为4，3，2，1，0，所以，即－4≤a＜3.解关于x的分式方程，得.又因为a为整数，分式方程有整数解，所以a的所有可能的取值为－3，－1，1，故所有满足条件的整数a的值之和为－3.

错解分析：两位学生的解答从结果上来看都一样，貌似正确，但在解题过程中犯了多处错误.学生甲在解不等式组时，对临界点－1的情况没有考虑进去，由于不等式组的解为，即使，x的取值范围内仍然还是5个整数解4，3，2，1，0，学生乙注意到了这个问题，在不等式组的处理上正确了.两位学生在解分式方程时，都没有对方程的根进行检验，这样一来，把分式方程的增根都考虑进去了，a的取值情况自然就多出来了，从而导致解题结果出现错误.

正解：解不等式组得因为.不等式组有且仅有5个整数解，所以这5个整数解为4，3，2，1，0，所以，即－4≤a＜3.解关于x的分式方程，得.因为x≠1，所以，即a≠1.又因为a为整数，分式方程有整数解，所以a的所有可能的取值为－3，－1，故所有满足条件的整数a的值之和为－4.

点评：此题主要考查了分式方程的整数解，以及一元一次不等式组的整数解问题.由于在求解分式方程时，一般需要先化成整式方程，然后求解，所以此时求出的解实际上是整式方程的根，之所以要把根代入到分式方程去检验，正是因为在分式方程转化为整式方程时，是实施了有条件的等价转化，而条件一般我们不写出来，这就导致学生在解题时容易忽略等价转化时需要具备的条件，自然就忘记了最后的检验过程，从而出现了多解或错解的情况.此外，解不等式组时，数轴是我们的法宝，借助于数轴，才能不忘考虑临界点时的取值情况.

例2若关于x的分式方程的解为正实数，求实数m的取值范围.

学生解答：解关于x的分式方程，得x=.因为方程的解为正实数，所以，所以m＜6.

错解分析：学生在解此分式方程时忽视了对增根的检验，当m=2时，由x=可得x=2，为分式方程的增根，所以还应该有，即m≠2的限制.

正解：解关于x的分式方程，得因为方程的解为正实数，所以，所以m＜6，考虑到方程为分式方程，所以x≠2，即，所以m≠2，所以实数m的取值范围为m＜6且m≠2.

点评：在纯粹的解分式方程的根题目中，学生一般还是注意到要对求出的根进行检验，而像这类在分式方程中求参数取值范围的问题，由于题目看起来让学生感觉到主要问题不是解分式方程，而是求参数的取值范围，所以学生最容易忽视的就是对增根的检验，只是简单地去解一下关于参数的不等式而已.

下面，一起来看一道模考题：

考题关于x的分式方程的解为负数，求k的取值范围.

考生解答：先将关于x的分式方程，化成整式方程，有k－1=2（x+1），解得.因为分式方程的解为负数，所以，即k＜3.

错解分析：考生先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再利用解为负数，求出k的取值范围，但是考生忘记了对分式方程增根的检验，本题应根据分式方程中有x≠－1，通过解不等式组得出k的取值范围.

正解：解关于x的分式方程，得.因为分式方程的解为负数，所以，有k＜3.再由于分式方程中x≠－1，所以，即k≠1，综上所述，k＜3且k≠1.

点评：看似一个很易做的分式方程求参数范围的题目，却在考试时迷惑了众多考生，犯错的考生只注意到了题目中的“方程的解为负数”，而疏忽了方程前的“分式”二字，从而没有对分式方程的增根进行考虑，导致了问题的错误作答.

在解一元一次不等式组的整数解时，要养成借助于数轴的好习惯，这样能让学生准确定位，能让学生不忘考虑临界点时的情况.另外，解分式方程时，根的检验是学生极易忽略的地方，即使老师经常提醒，学生也会常常遗忘，只有在平时多加强这方面的训练，让学生形成条件反射，才能有效提高解分式方程的正确率.H