一道二元变量求最值问题的解法赏析

☉江苏省南京市第九中学 金玉明

一般地，对于一道二元变量求最值问题，常规解法往往都有几种，如：配方法、消元法、不等式法、构造法等，但是有些题目用这些常规解法却难以求出最值，今天我们欣赏解一道这样的题目所采用的几种不同寻常的方法，感受一下学习数学带给我们的乐趣.

题目已知正实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值为

本题若采用常规解法——消元法来解，由正实数x，y满足x2+y2=1得，代入得，接下来让人感觉无从下手，因为使用不等式或者用导数求最值的方法都不容易求出其最小值，但是可以使用下面几种不同寻常的方法来解.

方法一：采用三角换元法

设），则当θ∈（0，θ0）时，t′＜0，函数在区间（0，θ0）上单调递减；当时，t′＞0，函数t=在区间）上单调递增.所以，当tanθ=2，即

说明：先采用三角换元，转化为一个变量θ，再采用导数求最值的方法求最小值.

方法二：采用基本不等式公式推广到3项时的公式

因为x2+y2=1，所以

当且仅当时，取等号，所以

说明：基本不等式公式推广到n项的公式为：若a1，a2，a3，…，an均是正数，则有均值不等式当且仅当a1=a2=a3=…=an时取等号.上述解法是运用推广到3项时的公式.为了凑成3项乘积为定值，可以根据x2+y2=1，构造λ（x2+y2－1）=0，λ∈R，然后将转化为

方法三：运用常数转变量的“1”的逆代

令f（′t）=0，得t=2，所以，当t∈（0，2）时，f（′t）＜0，函数在区间（0，2）上单调递减；当t∈（2，+）时，f（′t）＞0，函数在区间（2，+∞）上单调递增.所以，当t=2时，即取得最小值125，所以取得最小值

说明：根据x，y为正数，求的最小值可以转化为的最小值，然后运用常数转变量的“1”逆代的方法，将问题转化为关于的函数，再采用换元的方法令，将问题又转化为一元变量关于t的函数，最后利用导数求极值的方法求出的最小值.

方法四：利用权方和不等式公式

说明：权方和不等式公式为：若 ai＞0，bi＞0，m＞0，则成立，当且仅当时，等号成立，m称为该不等式的权，该不等式的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1.根据此不等式，只要凑成该公式的适用形式，就可以利用此公式迅速解题，非常方便实用.

对于这道题目，常规解法配方法、消元法、基本不等式法、构造法等都很难求出其最小值，但是我们可以综合运用三角换元法，导数求极值法，基本不等式的推广公式，以及权方和不等式等使问题得到圆满解决，看似到了山重水复疑无路的绝境，其实藏有柳暗花明又一村的美景，等待我们去发现，去欣赏，只要我们不断学习，努力探索，就会在数学的知识海洋里畅游，流连忘返，乐此不彼.H